WWW.DISUS.RU

БЕСПЛАТНАЯ НАУЧНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Авторефераты, диссертации, методички

 

Pages:     || 2 |

«ТЕОРИЯ И ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА Уфа 2002 Министерство образования Российской Федерации Уфимский государственный авиационный технический университет Н.М. ЦИРЕЛЬМАН ТЕОРИЯ И ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ...»

-- [ Страница 1 ] --

Н.М.ЦИРЕЛЬМАН

ТЕОРИЯ И ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ

ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА

Уфа 2002

Министерство образования Российской Федерации

Уфимский государственный авиационный технический университет

Н.М. ЦИРЕЛЬМАН

ТЕОРИЯ И ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ

ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА

Часть I Допущено Учебно-методическим объединением высших учебных заведений Российской Федерации по образованию в области авиации, ракетостроения и космоса в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по направлению подготовки дипломированных специалистов 652200 – Двигатели летательных аппаратов и специальностей 130200 – Авиационные двигатели и энергетические установки, 131500 – Авиационная и ракетнокосмическая теплотехника и по направлению подготовки бакалавров и магистров 551000 – Авиа- и ракетостроение Уфа УДК 621.1 (07) ББК 31.31 (Я7) Ц Ц68 Цирельман Н.М. Теория и прикладные задачи тепломассопереноса.

Часть I: Учеб. пособие/ Н.М.Цирельман; Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т.

– Уфа, 2002. – 108 с.

ISBN 5-86911-368- В первой части настоящего учебного пособия изложены основные понятия и закономерности процессов теплопроводности, конвективного и лучистого теплообмена. Рассмотрены численно-аналитические методы решения задач по определению нестационарных и стационарных температурных полей в твердых телах при различных краевых условиях.

Интегральные характеристики прикладных задач конвективного теплообмена описаны с привлечением аппарата обобщенных переменных. Рассмотрены зависимости для расчета параметров теплообмена излучением твердых тел и газов.

Во второй части этого пособия будут освещены вопросы теплообмена при изменении агрегатного состояния вещества (при кипении и при конденсации), вопросы массопроводности, конвективного массообмена и взаимосвязанной тепломассопроводности.

Предназначено для студентов, обучающихся по специальностям – Авиационная и ракетно-космическая теплотехника, 130200 – Авиационные двигатели и энергетические установки и по направлению бакалаврской и магистерской подготовки 551000 – Авиа- и ракетостроение. Учебное пособие будет также полезным для студентов других технических направлений и специальностей.

Ил. 46. Библиогр.: 15 наим.

Печатается по решению редакционно-издательского совета Уфимского государственного авиационного технического университета Научный редактор: канд.физ.-мат.наук, доцент С.Ю. Лукащук Рецензенты: кафедра теоретических основ теплотехники Казанского государственного технического университета им.А.Н.Туполева, зав.кафедрой д-р техн.наук, профессор Ю.Ф.Гортышов;

зам.Генерального конструктора ФГУП НПП «Мотор», канд.техн.наук В.И.Большагин © Уфимский государственный авиационный ISBN 5-86911-368- технический университет, © Н.М.Цирельман, Учебное издание ЦИРЕЛЬМАН Наум Моисеевич

ТЕОРИЯ И ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ

ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА

Часть I Подписано к печати 28.05.02. Формат 6084 1/16.Бумага писчая.

Печать плоская. Гарнитура Times New Roman. Усл. печ. л. 6,8.

Усл. кр.-отт.6,8.Уч.-изд.л. 6,6. Тираж 300 экз. Заказ № 52. С(25).

Уфимский государственный авиационный технический университет Редакционно-издательский комплекс УГАТУ 450000, Уфа-центр, ул. К.Маркса,

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

1.1. Механизм процесса

1.2. Основные понятия теплопроводности (и теплопередачи)

1.3. Гипотеза Ж.-Б.Фурье

1.4. Уравнение Фурье

1.5. Краевые условия для уравнения Фурье

1.6. Краевая задача нестационарной теплопроводности

1.7. Решение краевой задачи нестационарной теплопроводности

1.8. Численное решение нелинейной задачи нестационарной теплопроводности

1.8.1. Метод элементарных тепловых балансов………………………… 1.8.2. Метод сеток (метод конечных разностей) ……………………… 1.9. Стационарная теплопроводность

1.9.1. Неограниченная пластина

1.9.1.1. Вид стационарного температурного поля

1.9.1.2. Тепловой поток через однослойную плоскую стенку при ГУ-I

многослойную плоскую стенку при ГУ-I

1.9.2. Полый цилиндр

1.9.2.1. Вид стационарного температурного поля

1.9.2.2. Тепловой поток через однослойный полый цилиндр при ГУ-I

многослойный полый цилиндр при ГУ-I

1.9.3. Обобщенное описание стационарной теплопроводности……….… 1.9.4. Тепловая изоляция конструкций ………………………………..…... 1.9.5. Нелинейная стационарная теплопроводность

2. КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН

2.1. Схема В.Нуссельта

2.2. Основные положения теории подобия и физического моделирования

2.2.1. Необходимые условия для подобия распределений скорости и температуры в потоке ……………………………………………… 2.2.2. Достаточные условия для подобия вынужденных течений.……..… 2.2.3. Достаточные условия для подобия свободных термических течений ……………………………………………………………….. 2.2.4. Достаточные условия для подобия распределений скорости в вынужденных течениях с наложением свободной термической конвекции …………………………...……………………. 2.2.5. Достаточные условия для подобия температурных полей в среде, движущейся вынужденно или свободно ………………….. 2.2.6. Необходимые и достаточные условия подобия физических явлений ……………………………………………………………….… 2.3. Установление структуры формул для описания конвективного теплообмена

2.4. Особенности формирования динамического и теплового пограничных слоев во внешней и внутренней задачах

2.4.1. Обтекание пластины (внешняя задача) ……………………………… 2.4.2. Течение в трубе ……………………………………………………….. 2.5. Критериальные формулы для описания теплообмена во внешней задаче (вынужденное течение)

2.6. Критериальные формулы для описания теплообмена во внутренней задаче (вынужденное течение)

2.6.1. Теплообмен при ламинарном вязкостном режиме течения.………. 2.6.2. Теплообмен при ламинарном гравитационно-вязкостном течении ……………………………………………………..………… 2.6.3. Теплообмен при турбулентном режиме течения …………………… 2.6.4. Теплообмен при переходном режиме течения ……………………… 2.6.5. Теплообмен при течении жидких металлов и плазмы ……………... 2.7. Теплоотдача при вынужденном поперечном обтекании одиночных труб и трубных пучков ………………………………..……… 2.7.1. Одиночные трубы ……………………………..……………….……… 2.7.2. Трубные пучки ………………………………………………………… 2.8. Критериальные формулы для описания теплообмена при свободной конвекции

2.8.1. Свободная конвекция в большом объеме

2.8.2. Свободная конвекция над горизонтальной поверхностью

2.8.3. Свободная конвекция в узкой щели

2.9. Температурный фактор Сt в задачах конвективного теплообмена

3. ТЕПЛООБМЕН ИЗЛУЧЕНИЕМ

3.1. Тепловое излучение твердых тел

3.2. Расчет результирующего лучистого потока тепла между телами. Экраны

3.3. Особенности излучения газов

3.4. Решение задач теплопроводности с граничными условиями по законам излучения …………………………………………………… СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ …………………….…..

ВВЕДЕНИЕ

От характера протекания тепломассопереноса, от уровня температуры и особенностей формирования ее распределений в элементах теплонапряженных конструкций в решающей степени зависит экономичность технического или технологического процесса, массоемкость, габариты, эксплуатационные характеристики и ресурс оборудования.

В качестве примера укажем на то, что при недостаточном охлаждении рабочих лопаток высокотемпературных турбин они перегреваются, механические характеристики их материала вследствие этого ухудшаются, т.е. пределы прочности, длительной прочности, текучести и др.

уменьшаются, и так как они находятся под действием больших центробежных сил из-за высоких оборотов ротора двигателя, то может произойти разрушение турбины. При чрезмерном же охлаждении уровень температуры становится приемлемым, однако может сформироваться неблагоприятное распределение температуры с большими ее перепадами в лопатке, что приводит к возникновению опасных по величине термических напряжений. Таким образом, рассмотренные случаи свидетельствуют о необходимости решения проблемы оптимизации систем охлаждения газотурбинного двигателя.

Актуальным поэтому является изучение закономерностей распространения тепла в твердых телах, жидкостях и газах, составляющих предмет теплопередачи.

Существуют различные способы теплопередачи:

1. Распространение тепла внутри твердых тел и в неподвижных жидкостях (газах) называется теплопроводностью (кондукцией). Отметим, что жидкости (газы) неподвижны в том частном случае, когда они находятся в узких щелях (прослойках) определенной толщины.

2. Распространение тепла в движущейся жидкости (газе), тепловое взаимодействие между движущейся средой и поверхностью омываемого ею твердого тела называется конвективным теплообменом.

3. Перенос тепла от поверхности твердого тела к кипящей на ней жидкости и противоположный процесс теплопереноса от конденсирующихся паров к холодной поверхности называются теплообменом при фазовом переходе вещества.

4. Перенос тепловой энергии от одного тела к другому при отсутствии посредника-вещества с помощью механизма электромагнитного излучения представляет собой лучистый теплообмен.

Изложение курса осуществляется рассмотрением каждого из перечисленных способов теплопередачи, так как они осуществляются во многих технических устройствах и процессах. Так, например, в котельном агрегате тепло от движущихся газов (от продуктов сгорания топлива) передается к наружной поверхности труб топочных экранов конвекцией и излучением, так что имеет место так называемый радиационно-конвективный способ теплопередачи. От наружной поверхности через стенку трубы к внутренней ее поверхности тепло передается теплопроводностью. От внутренней поверхности тепло воспринимается движущейся водой сначала механизмом конвекции, а затем, начиная с некоторого сечения трубы, еще и кипением. Отвод тепла от отработавших в паровой турбине паров рабочего тела осуществляется при их конденсации.

В авиационном газотурбинном двигателе продукты сгорания топлива (чаще всего керосина) при своем движении в проточной части конвекцией и излучением отдают тепло стенкам камеры сгорания, направляющим и рабочим лопаткам, ротору и дискам турбины, стенкам реактивного сопла и др. Во избежание перегрева из-за высоких температур последние охлаждаются воздухом или другими средами механизмом конвекции.

Имеются варианты охлаждения лопаток первых ступеней турбины с помощью кипящей в их внутренних полостях жидкости. В материале перечисленных элементов конструкции двигателя тепло распространяется механизмом теплопроводности.

Учет теплового состояния такого ответственного изделия, как авиационный, ракетный или другой тепловой двигатель, столь важен, что его определение с необходимостью производят, например, перед прочностным расчетом, а также для нахождения рабочих параметров, эксплуатационных характеристик и пр.

1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

1.1. Механизм процесса Механизм процесса обусловлен видом носителя тепла в твердых телах, жидкостях и газах.

В металлах электроны (электронный газ) при своем перемещении переносят не только электрический заряд, но и присущую им энергию беспорядочного теплового движения, осуществляя тем самым процесс теплопроводности, в котором колебания узлов (ионов) решетки принимают незначительное участие при низких и комнатных температурах. С ростом температуры влияние последних усиливается, создавая помехи движению электронного газа, так что чем выше температура чистого метала, тем хуже он проводит тепло. Опыты свидетельствуют, что для сплавов не имеется однозначной связи между ростом их температуры и падением проводимости тепла.

В диэлектриках нет свободных электронов и перенос тепла в них осуществляется за счет колебания узлов решеток (фононная проводимость тепла). Если в каком-то месте диэлектрик нагревают, то усиливающиеся в нем колебания узлов распространяются в теле в виде затухающей волны, так как узлы связаны межмолекулярным взаимодействием.

В полупроводниках, находящихся при низких температурах, мало свободных электронов и тепло в них при этом распространяется, как в диэлектрике. При средних температурах вклад электронной проводимости возрастает, а при высоких температурах она становится преобладающей.

В неподвижных газовых слоях носителями тепла являются хаотически движущиеся молекулы (атомы). Если газ в каком-то месте нагревать, то в нем увеличивается среднеквадратичная скорость движения молекул, которые, сталкиваясь с более удаленными медленными (холодными) молекулами, увеличивают их кинетическую энергию и, как следствие, при этом увеличивается и температура газа.

Наименее изучен процесс теплопроводности в жидкостях. Не вдаваясь в детали теории жидкого состояния вещества, укажем на то, что в настоящее время полагают, что жидкости в течение некоторого очень малого промежутка времени, называемого временем релаксации, можно рассматривать как кристаллические структуры. Затем эти структуры разрушаются и поведение жидкости соответствует газовому состоянию. В каждом из этих чередующихся состояний действует свой механизм переноса тепла.

1.2. Основные понятия теплопроводности (и теплопередачи) К ним относятся следующие понятия: температура, температурное поле, изотермическая поверхность, изотерма, градиент температуры, тепловой поток, плотность теплового потока.

Температура – это физическая величина, являющаяся мерой отклонения состояния тела от теплового равновесия с другим телом, называемым эталоном, температуру которого условно принимают равной нулю. В зависимости от выбора тела-эталона различают эмпирические и абсолютные шкалы температур.

В России принята эмпирическая стоградусная шкала Цельсия, в которой тепловое состояние тел сравнивают с тепловым состоянием тающего при нормальном давлении химически чистого водного льда: температуру последнего полагают равной 0 С. Нужно иметь в виду, что в большинстве англоязычных стран мира принята шкала Фаренгейта, и обращать внимание на то, в какой шкале измерения сообщается температура.

В абсолютной шкале температур (в термодинамической шкале температур, в шкале Кельвина) тепловое состояние тела сравнивают с таким его же состоянием, при котором достигается минимальное значение внутренней энергии: температуру последнего состояния полагают равной Связь между значением температуры Т в абсолютной шкале и значением температуры t в шкале Цельсия дается соотношением Основной задачей теории теплопроводности является определение температуры Т в любой точке M ( – геометрическая область, занимаемая телом) в любой момент времени > 0, отсчитываемый от начала нагревания или охлаждения тела. Совокупность значений Т(М, ) в фиксированный момент времени называется температурным полем в теле.

Можно, таким образом, сказать, что основной задачей теории теплопроводности является определение температурного поля в теле в каждый момент времени.

Естественно, что температурное поле можно представить в виде совокупности («набора») так называемых изотермических поверхностей.

Изотермическая поверхность – это реальная или воображаемая геометрическая поверхность, в каждой точке которой в данный момент времени температура одинакова. Из физических соображений ясно, что изотермические поверхности не могут пересекаться друг с другом, они замыкаются сами на себя или на ограничивающие тело поверхности.

Пересечение изотермических поверхностей плоскостями дает линии– изотермы.

В теории теплопроводности аналитическими методами чаще всего рассматривается распространение тепла в телах простейшей формы – в неограниченной пластине и в сплошных или полых шаре и круговом цилиндре неограниченной или конечной длины. Отметим, что под неограниченной пластиной понимается параллелепипед, у которого две протяженности во много раз больше третьей, называемой толщиной пластины.

На рис. 1.1 изображены в виде примера изотермические поверхности (рис. 1.1, а) и изотермы (рис. 1.1, б) в неограниченной пластине, в круговом цилиндре неограниченной длины и сплошном шаре в какой-то момент времени при условии, что их ограничивающие поверхности в процессах нагревания или охлаждения поддерживаются изотермическими.

Отметим, что сечения изотермических поверхностей получены плоскостями, перпендикулярными ограничивающим поверхностям пластины, оси цилиндра или проходящими через центр шара.

Рассмотрим в виде примера нагревание прямолинейного бруса (призмы) неограниченной длины с произвольным по форме поперечным сечением, наружная поверхность которого поддерживается изотермической.

Выделим в поперечном сечении, перпендикулярном оси бруса, изотермы Т – Т, Т и Т + Т (рис. 1.2). Затем на изотермической поверхности с температурой Т рассмотрим ее элемент с единичной площадью. Тепло с этой площадки будет передаваться в направлении изотермической поверхности с температурой движущей силы в виде разности температур T – (Т – Т) = Т.

Предел отношения Т к расстоянию n, взятому по нормали к рассматриваемым изотермическим поверхностям, т.е. величина называется градиентом температуры в указанном месте на изотермической поверхности с температурой Т. Величина gradT является вектором, направленным в сторону больших значений температур в теле.

Именно градиент температуры gradT выступает в качестве движущей силы процесса теплопроводности.

Количество тепла, проходящего через всю площадь изотермической поверхности за время, называется тепловым потоком Q [Дж], а та его часть, которая проходит через единицу площади за единицу времени, называется плотностью теплового потока q [Вт/м2]. Плотность теплового потока является вектором, направленным в сторону меньших значений температуры, и для изотропных тел он находится на одной прямой с градиентом температуры gradT, т.е. угол между этими векторами равен.

1.3. Гипотеза Ж.-Б. Фурье В 1822 г. вышла книга выдающегося французского математика Ж.-Б. Фурье «Аналитическая теория теплоты», в которой изложен метод нахождения нестационарных температурных полей в твердых телах.

Отправной точкой всех имеющихся там выкладок является идея (гипотеза) Ж.-Б. Фурье о виде связи между вектором плотности теплового потока q с какого-либо места изотермической поверхности T = const и значением градиента температуры gradT в этом месте.

Фурье предположил, что существует прямая пропорциональность между величинами q и gradT, т.е.

Учитывая разнонаправленность указанных в (1.1) векторов, имеем также Чтобы перейти в (1.1) от пропорции к равенству, Ж.-Б. Фурье ввел коэффициент пропорциональности и получил зависимость представляющую собой математическую запись его гипотезы.

Величина численно равна и совпадает с плотностью теплового потока при значении |gradT|, равном 1 К/м.

Фурье назвал коэффициентом теплопроводности материала тела.

Зависит величина от вида материала тела, его пористости, влажности и, что очень существенно, от самой температуры Т. При наличии этой последней зависимости принято представлять (1.2) в виде Нетрудно видеть, что в этом случае зависимость между q и Т становится нелинейной, что очень осложняет расчет процесса теплопроводности.

Определяется величина экспериментально в виде функции названных выше параметров с использованием формулы (1.3), однако не в столь прямом виде.

Численное значение плотности теплового потока q равно модулю (длине) вектора q и определяется по формуле где n 0 – единичный вектор внешней нормали.

Для вычисления скалярного произведения векторов gradT и n 0 надо иметь в виду, что каждый из них в декартовой системе координат равен соответственно где i, j, k – орт-векторы,,, и – углы между осями x, y, z и направлением n соответственно. В итоге величина q определяется по формуле Покажем, как надо использовать зависимость (1.6) для нахождения величины q в неограниченной пластине, ограничивающие поверхности которой поддерживаются в процессе теплопроводности изотермическими, так что вектор нормали n совпадает с направлением 0x (рис. 1.3).

В этом случае имеем так называемое одномерное температурное поле в теле, при котором вектор q через каждую изотермическую поверхность параллелен 0х или, что то же, параллелен вектору n.

Ясно, что в рассматриваемом примере = 0, = /2, = /2, 0, так что использование (1.6) дает (1.7) Отметим, что величина q получается положительной, если вектор q совпадает с направлением n (приведенное на рис. 1.3, а распределение температуры по толщине пластины относится к этой ситуации), и наоборот, q < 0, если q и n являются разнонаправленными векторами (распределение температуры на рис. 1.3, б).

Нетрудно видеть, что в (1.7) величина 1.4. Уравнение Фурье Напомним, что основной задачей теории теплопроводности является определение температуры в любой точке тела в любой момент времени от начала его нагревания или охлаждения, т.е. установление связи вида Для этого необходимо решать так называемое уравнение Фурье (уравнение теплопроводности).

Уравнение Фурье первоначально установим для самого простого случая одномерного распространения тепла в пластине (рис. 1.3). Выделим двумя плоскостями, параллельными ограничивающим плоскостям тела, слой толщиной dx и рассмотрим прохождение тепла через единицу площади изотермической поверхности (рис. 1.4).

Положим также, что в теле отсутствуют источники объемного тепловыделения, причиной которого может быть наличие химической реакции, ядерного распада, прохождение электрического тока и т.д.

Представляется очевидным, что если в выделенный слой, объем которого равен 1dx, тепла «втекает» больше, чем «вытекает»

(q( x ) q( x dx )), то температура в нем во времени будет повышаться случаях имеем процесс нестационарной теплопроводности.

Если же q( x ) q( x dx ), то ясно, что температура в выделенном объеме тела во времени изменяться не будет процессу стационарной теплопроводности.

Пусть за время d температура в выделенном объеме изменится на величину dT, так что изменение внутренней энергии за единицу времени составляет (1.9) плотность, так что имеем Знак частной производной в (1.9) использован потому, что температура T меняется не только во времени, но и в пространстве (в нашем случае она изменяется по координате x).

Единственной причиной изменения внутренней энергии во времени является разность «втекающего» q(x) и «вытекающего» q(x + dx) количества тепла, т.е. верно также равенство Разложим q(x + dx) в ряд Тейлора в окрестности точки с координатой x и ограничимся линейной частью разложения, тогда получим и (1.10) примет вид Приравнивая правые части (1.9) и (1.10), получаем Таким образом, температура в том или ином месте пластины изменяется во времени плотность теплового потока ( q( x ) 0 ).

На основании (1.3) имеем так что уравнение (1.11) при = const принимает вид Это и есть уравнение Фурье, описывающее нестационарное одномерное (изменяющееся лишь по 0x) температурное поле в пластине.

В случае распространения тепла в прямолинейной призме (брусе) бесконечной длины и произвольной формы поперечного сечения с изотермической ограничивающей поверхностью достаточно рассмотреть распространение тепла в сечении, перпендикулярном оси призмы (рис. 1.2).

Таким образом, мы приходим к понятию двухмерного температурного поля, формирующегося в том случае, когда вектор плотности теплового потока «втекающего» и «вытекающего» в элементарный участок сечения призмы имеет ненулевые компоненты в направлениях 0x и 0y (рис. 1.5).

Элементарный участок сечения призмы имеет вид прямоугольника и выделен плоскостями, отстоящими на x и x + dx, а также на y и y + dy от начала координат и имеет протяженность L в направлении 0z, перпендикулярном плоскости чертежа. В этом случае получаем последовательно Далее, с учетом разложений следует также (1.14) и с привлечением (1.12) получаем Наконец, учитывая, что при = const имеем в окончательном виде уравнение Фурье для описания двухмерного температурного поля Нетрудно показать, что для самого общего случая объемного (трехмерного) температурного поля уравнение Фурье таково:

(1.16) Обратим внимание на то, что формулы (1.11), (1.15), (1.16) получены в предположении того, что теплофизические характеристики материала тела c,, неизменны. Уравнению (1.16) можно придать компактный вид где – коэффициент температуропроводности материала тела;

2 2 2 – оператор Лапласа; div – оператор дивергенции.

Уравнение Фурье представляет собой математическую запись закона сохранения энергии для ее тепловой формы, конкретный вид которой обусловлен использованием гипотезы Фурье q gradT.

В настоящее время справедливость этой гипотезы на основании результатов многочисленных приложений не вызывает сомнений, так что во многих работах эту гипотезу называют законом Фурье.

В математике (раздел «Математическая физика») уравнение (1.16) по ряду признаков отнесено к уравнению параболического типа и исследуются свойства его решения.

Отметим также, что для одномерного распространения тепла в пластине, цилиндре и шаре, когда их ограничивающие поверхности изотермичны, уравнение (1.16) принимает вид где x – координата, отсчитанная от одной из плоскостей пластины, от оси цилиндра или от центра шара; s – коэффициент формы тела, равный единице, двум и трем для пластины, цилиндра и шара соответственно.

В заключение отметим, что для практически важного случая зависимости теплофизических характеристик материала тела от температуры – c c(T ), (T ), (T ) – уравнения (1.16) и (1.16) неприменимы.

Можно показать, что вместо них необходимо рассматривать соответственно зависимости 1.5. Краевые условия для уравнения Фурье Уравнение Фурье представляет собой дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка и его решение (интегрирование) приводит к появлению в структуре решения произвольных функций от аргументов x, y, z,, т.е. получаем при этом неоднозначное решение о температурном поле в теле.

Чтобы эти произвольные функции определить и получить однозначное решение поставленной задачи, очевидно, что к уравнению Фурье должны быть присоединены дополнительные уравнения, представляющие собой математическое описание известных условий протекания исследуемого процесса теплопроводности. Эти условия называются краевыми, так как они содержат в себе информацию об условиях на «краях» рассматриваемого явления.

Процесс нестационарной теплопроводности развивается во времени и в пространстве и имеет на них края.

Временным краем процесса является момент его начала, соответствующий моменту времени = 0, отсчитываемому от начала нагревания или охлаждения тела. Температурное поле в теле при = полагают известным и представляют в виде зависимости Формула (1.19) является математической записью начального условия задачи нестационарной теплопроводности. При одинаковой начальной температуре во всех точках тела это условие становится простейшим и принимает вид В пространственные края включаются все точки на всех ограничивающих тело поверхностях. На пространственных краях полагают известными тепловые условия в течение всего процесса теплопроводности и их математическую запись называют граничными условиями для уравнения Фурье.

Рассматриваемое твердое тело может омываться потоками жидкости (газа), нагреваться (или остывать) излучением, на его поверхностях могут быть размещены нагреватели и т.п. В зависимости от рода известной информации о тепловой обстановке на ограничивающих поверхностях тела различают граничные условия первого (ГУ-I), второго (ГУ-II), третьего (ГУIII) и четвертого (ГУ-IV) рода.

Если из физических соображений или в результате проведенных измерений известна температура T W на поверхности Г тела, то мы располагаем граничными условиями первого рода в форме В простейшем случае в течение всего процесса во всех точках на всех поверхностях тела температура одинакова, и тогда вместо (1.20) имеем ГУ-I в виде Если известна плотность теплового потока q на поверхности тела, то к уравнению Фурье присоединяют ГУ-II в форме С учетом (1.4) формула (1.21) принимает вид или Граничные условия третьего рода (ГУ-III) присоединяют к уравнению Фурье в том частном случае, когда тело омывается потоком жидкости (газа), температура которого T f,0 на удалении от тела известна (рис.1.6).

При этом плотность теплового потока, передаваемого от движущейся среды к поверхности тела, полагают пропорциональной разности температур TW – T f,0 (температура поверхности T W неизвестна и сама подлежит определению) Чтобы перейти в (1.22) от пропорции к равенству, вводится коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом теплоотдачи, так что имеем В формуле (1.22) считаются известными лишь величины T f,0 и.

Величина численно равна плотности теплового потока, передаваемого от поверхности тела при TW T f,0 = 1K:

Определению величины посвящается целиком раздел 2 настоящей работы. Здесь же отметим, что величина коэффициента теплоотдачи характеризует интенсивность теплового взаимодействия между движущейся средой и поверхностью омываемого ею твердого тела. Зависит величина от следующих факторов:

1) от относительной скорости потока (чем эта скорость больше, тем больше и );

2) от режима его течения у поверхности тела (в дальнейшем будут рассмотрены ламинарный, переходной и турбулентный режимы течения);

3) от теплофизических свойств движущейся среды (например, для жидкостей больше, чем для газов);

4) от формы обтекаемого тела (у плохо обтекаемых тел в потоке образуются вихри, он турбулизируется, и вследствие этого становится больше);

5) от шероховатости поверхности (для большей шероховатости больше вследствие упомянутой выше турбулизации течения).

Плотность теплового потока, передаваемого через ограничивающую поверхность тела, «входит» внутрь твердого тела (или «выходит») механизмом теплопроводности и для ее определения применима также формула (1.4), так что вместо (1.22) имеем также или Сравнение между собой формул (1.20), (1,21), (1.24) свидетельствует о том, что при задании граничных условий первого, второго и третьего рода известна в течение всей длительности процесса на поверхности тела соответственно температура, ее градиент или линейная связь между ними при не зависящих от температуры величинах и.

Граничные условия четвертого рода относятся к специфическому случаю теплового контакта между двумя твердыми телами (рис. 1.7). При этом возможен случай идеального теплового контакта (вариант а, когда поверхность Г тел № 1 и № 2 является общей) и неидеального теплового контакта (вариант б на рис. 1.7), когда поверхности Г тел № 1 и № разделены газовой прослойкой, слоем окислов, слоем масла и т.п.

Ясно, что в обоих случаях плотности теплового потока, пересекающего поверхность Г слева (Г–0) направо (Г+0), совпадают, так что с привлечением (1.4) имеем В случае идеального теплового контакта на поверхностях Г–0 и Г+0 в течение всего процесса совпадают и температуры контактирующих тел:

а в случае неидеального теплового контакта имеет место скачок температуры T, формирующийся на термическом сопротивлении, разделяющем оба тела, т.е. выполняется равенство 1.6. Краевая задача нестационарной теплопроводности Из всего вышеизложенного ясно, что для определения нестационарного температурного поля решают уравнение Фурье совместно с присоединенными к нему начальным условием и граничными условиями.

Последние содержат, как было сказано, известную из физических соображений или из результатов измерений информацию о тепловой обстановке на ограничивающих поверхностях тела. Совокупность перечисленных уравнений и формирует так называемую краевую задачу теплопроводности, которую решают аналитически или численно.

Рассмотрим для примера задачу нестационарной теплопроводности для тел простейшей формы (пластина, цилиндр, шар), когда их ограничивающая поверхность в течение всего процесса изотермична (одномерное температурное поле), начальная температура T 0 везде одинакова и заданы граничные условия третьего рода, т.е. известны величины коэффициента теплоотдачи и температура T f,0 омывающего тело потока. Пусть полутолщина пластины или радиус цилиндра (шара) равны l0, а теплофизические характеристики c,, материала постоянны. Изобразим сначала графически на рис. 1.8 одно из этих тел (пластину) и развивающееся в нем во времени температурное поле при нагревании ( T f,0 > T0).

Для рассматриваемой ситуации краевая задача нестационарной теплопроводности имеет вид В записи краевой задачи (1.28)–(1.31) отражен факт симметричного развития температурного поля относительно плоскости (оси, центра) симметрии тела, т.е. относительно x = 0.

В краевой задаче (1.28) – (1.31) известны форма тела (величина s), его характерный размер l0, а также величины a,, T0,, T f,0, т.е. известны параметры задачи, изменяющиеся от одной конкретной ситуации к другой, и отыскивается температурное поле T(x,), так что в итоге получаем, что температура T отыскивается из решения задачи (1.28) – (1.31) в виде зависимости от аргументов x, и от параметров s, a,, T0,, T f,0, l0:

Таким образом, подлежит определению функция Т девяти переменных, теорема существования и единственности которой для краевой задачи (1.28)–(1.31) доказана в математической физике.

Сначала с целью уменьшения числа переменных исходную задачу приводят к безразмерному виду следующим образом.

Вместо «размерной» температуры T(x,) [T0; T f,0 ] вводится безразмерная относительная температура (x,) по правилу так что в задаче (1.28)–(1.31) надо везде заменить T на, подставив Далее, вместо размерной протяженности x [0; l0] вводится безразмерная протяженность = x/l0[0;1], так что в исходной задаче надо везде заменить x на x = l0.

Задача (1.28) – (1.31) принимает в результате таких подстановок вид Безразмерный комплекс a / l0 представляет собой безразмерное время и называется числом Фурье (Fo a / l0 ), а безразмерный комплекс l0 / представляет собой известную безразмерную интенсивность внешнего теплообмена потока с поверхностью тела и называется критерием Био (Bi l0 / ). Число Фурье Fо содержит в себе аргумент задачи и поэтому является ее безразмерным аргументом, а критерий Био Bi составлен из известных при постановке задачи параметров.

В конечном виде имеем следующую задачу нестационарной теплопроводности относительно искомой температуры (, Fо) Решение задачи (1.28)–(1.31) отыскивается в виде функции от четырех переменных (вместо девяти в (1.32)) как 1.7. Решение краевой задачи нестационарной теплопроводности В указанной в п. 1.3 работе Ж.-Б. Фурье был предложен метод определения нестационарных температурных полей на основе приведения исходной краевой задачи (1.28)–(1.31) в частных производных к краевой задаче в обыкновенных производных.

Покажем применение метода Фурье на примере определения температурных полей в неограниченной пластине (s = 1). Для этого сначала преобразуем краевую задачу (1.28)–(1.31), введя новую зависимую переменную и получим новую краевую задачу с однородными граничными условиями Фурье предложил представить решение * в виде произведения двух функций – функции f (Fo) от времени и функции () от координаты:

так что вместо (1.34)–(1.37) имеем также Разделим переменные в уравнении (1.39) и получим Равенство функций двух различных аргументов в левой и правой части (1.43) может иметь место лишь в том случае, когда каждая из них равна одной и той же постоянной B, так что Рассмотрим сначала уравнение Решение обыкновенного дифференциального уравнения (1.45) известно:

Из физических соображений очевидно, что в апериодических процессах теплопроводности (процессы с тепловым насыщением) температура должна изменяться по убывающей во времени экспоненте, в противном случае температура тела неограниченно возрастала бы во времени. Поэтому постоянная B в (1.46) должна быть отрицательной, которую принято представлять следующим образом:

так что формула (1.46) принимает вид обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка которое вместе с граничными условиями (1.41), (1.42) на () называется задачей Штурма–Лиувилля на собственные функции () и собственные значения.

Известное решение обыкновенного дифференциального уравнения (1.48) удовлетворяет условию симметричного развития температурного поля в теле (1.50) при Е = 0, так что вместо (1.51) получаем решение Подставляя (1.52) в граничное условие (1.49), приходим к уравнению относительно :

Трансцендентное уравнение (1.53) называется характеристическим и имеет бесконечно большое количество отрицательных и положительных корней n, из которых, исходя из уже указанного физического смысла задачи, удерживаются только положительные корни n 0. Таким образом, мы приходим к тому, что каждому корню n соответствуют свои функции времени f n (Fo) Cn exp( 2 Fo) и координаты n () Dn cos( n ) и частное решение краевой задачи (1.34)–(1.37) имеет вид * f n (Fo)n () Cn exp(2 Fo)Dn cos(n) An exp(2 Fo) cos(n). (1.54) Линейность указанной задачи позволяет представить ее решение в виде бесконечной суммы частных решений, построенных для конкретных значений n :

Постоянные An принято называть тепловыми амплитудами и для их нахождения * из (1.55) подставляется в левую часть начального условия (1.35) и при Fo 0 имеем Умножая обе части полученного равенства на cos( m ) и интегрируя по (0,1), получим Для краевой задачи (1.34)–(1.37) в математической физике доказана правомерность перестановки в левой части (1.57) порядка интегрирования и суммирования бесконечного ряда:

Так как функции cos( m ) и cos( n ) ортогональны, то выполняются равенства и вместо (1.57) получаем сначала и затем формулу для определения An Суммируя все вышеизложенное, решение поставленной краевой задачи теплопроводности (1.34)–(1.37) для неограниченной пластины таково:

Аналогичным образом строится решение для цилиндра и шара. Не вдаваясь в детали его получения, укажем, что в структуре решения вида имеем характеристическое уравнение J 0 () / J1 () /Bi ( J 0 и J1 – функции Бесселя первого рода нулевого и первого порядков, приводимые в справочниках по специальным функциям);

характеристическое уравнение tg = (1– Bi).

Решения задачи (1.28)–(1.31) для (плоскость, ось или центр симметрии тела) и (наружная поверхность тела) табулированы и приводятся в справочных пособиях. Там же дана и графическая их интерпретация, имеющая для случая нагревания вид рис. 1.9.

С помощью графиков решают два типа инженерных задач:

1) определение температуры в указанной точке тела по истечении заданного времени от начала его нагревания (охлаждения), 2) определение времени, за которое будет достигнута заданная температура T(x, в указанной точке тела.

При этом считаются известными величины a,,, T0, T f,0, l0, s.

Для решения первой и второй задачи сначала вычисляют величину критерия Био Далее, при решении первой задачи заданное время обезразмеривают до числа Фурье и по графику для указанной точки тела (путь a на рис. 1.9) находят температуру Fо), равную откуда следует T ( x, ) (T f, 0 T0 ) T0.

При решении второй задачи заданную температуру T(x, безразмерное время Fо ее достижения (путь б на рис. 1.9):

В заключение подчеркнем, что здесь рассмотрено решение линейной краевой задачи для ГУ-III. Решения краевой задачи для уравнения (1.28) при ГУ-I, ГУ-II и ГУ-IV также приводятся в справочных пособиях и монографиях, их относительно несложно получить с привлечением численных методов.

1.8. Численное решение нелинейной задачи нестационарной теплопроводности 1.8.1. Метод элементарных тепловых балансов Определение температурных полей в телах сложной формы при зависящих от температуры характеристиках материала тела (с = с(T), = T = T связано с решением проблемы многомерности и нелинейности, преодолеваемой, в общем случае, с привлечением возможностей ЭВМ.

Рассмотрим случай распространения тепла в пластине с переменными во времени параметрами граничных условиях третьего рода на обеих ограничивающих поверхностях (рис. 1.10).

При численном решении температуру определяют в дискретных точках пространства, отстоящих друг от друга на величину шага x, и в дискретные моменты времени длительностью каждый.

T f 1,0 ( ) При этом полагают известным распределение температуры в n-й момент времени, т.е. поле температуры и отыскивают распределение, отстоящее от него на временной шаг в (n+1)-й момент времени, т.е. отыскивается поле температуры TW(1 1), T1( n 1), T2( n 1),..., Ti (n 1), Ti ( n 1), Ti (n11),..., Tmn 1), Tmn 1), TW( n 1). Ясно, что начальное распределение температуры соответствует известному массиву температуры при n = 0, т.е. он таков: TW(1 ), T1(0),...,Ti (0),...,Tm0), TW(0),, а первый искомый массив имеет вид TW(1), T1(1),...,Ti (1),...,Tm1), TW(1). После его нахождения он становится начальным распределением при определении массива TW(1 ), T1( 2),...,Ti ( 2),...,Tm2), TW( 2) и т.д.

Установим алгебраическую систему уравнений, которая решается на ЭВМ при определении температурного поля в теле на каждом временном слое, рассмотрев прохождение тепла параллельно оси 0x (рис. 1.10) через поверхность площадью 1 м2. Тогда изменение внутренней энергии в i-м пространственном слое за 1 с будет равно где Ti (n ) и Ti ( n 1) - предыдущее и последующее (по истечении временного слоя длительностью ) значения температуры в середине i-го слоя пластины; qi 1, i и qi, i 1 - плотности теплового потока, “втекающего” из (i– 1)-го слоя в i-й слой и «вытекающего» из него в сторону (i+1)-го слоя; ci(n ) и i(n ) – значения удельной теплоемкости и плотности вещества, выбранные из таблицы (массива) их зависимости от температуры Ti (n ) в середине i-го слоя:

В зависимости от того, по какому распределению температуры в теле вычисляются величины qi 1, i и qi, i 1, различают явную и неявную схемы численного решения задачи теплопроводности.

При явной схеме qi 1, i и qi, i 1 определяют по предшествующему распределению температуры (по отношению к искомому), т.е. следующим образом:

так что имеем вместо (1.63) где коэффициенты теплопроводности вычисляются как При неявной схеме величины qi 1, i и qi, i 1 определяют по искомому распределению температуры, так что вместо (1.63) получают формулу В системе (1.63) из m–2 уравнений искомыми являются Ti (n 1), Ti ( n 1), при i [2, m 1], т.е. определению подлежат m–2 неизвестные температуры в середине мысленно выделенных в пластине m слоев толщиной x каждый. Дополнительные два уравнения соответствуют условиям распространения тепла в первом и последнем m-м слое, для которых дополнительно к (1.63) имеем где коэффициенты теплопроводности равны соответственно Однако в формулах (1.64), (1.65) появились новые искомые температуры TW(1 1) и TW( n 1) ограничивающих поверхностей пластины. Дополнительные к (1.63), (1.64), (1.65) уравнения для их нахождения получаются при конечноразностной аппроксимации граничных условий третьего рода в точках х = 0 и 1.66) Таким образом, мы приходим к замкнутой системе алгебраических уравнений (1.63), (1.64)–(1.67) относительно искомых температур TW(1 1),...,Ti (n),..., Tmn), TW( n).

Отметим также, что здесь рассмотрена безытерационная неявная схема определения температурного поля на ЭВМ, когда теплофизические свойства материала с, выбираются из соответствующих массивов входной информации по известному на предшествующем временном слое распределению температур.

Соответствующий анализ свидетельствует о том, что явная схема счета является устойчивой при выборе соотношения между шагами x и по правилу Неявная же схема счета является абсолютно устойчивой, так что, вообще говоря, не имеется ограничений на выбор величин x и. Следует, однако, помнить, что схема проведения счета в конечных разностях должна аппроксимировать исходную задачу теплопроводности, записанную в дифференциальных операторах: например, должны выполняться соотношения Рассмотренный пример построения системы алгебраических уравнений для численного нахождения одномерного температурного поля называется методом теплового баланса. Он дает представление и о его применении для плоского и объемного случаев.

1.8.2. Метод сеток (метод конечных разностей) Метод сеток практически совпадает с методом элементарного теплового баланса. Отличие между ними состоит в том, что, во-первых, метод сеток обосновывается формальной дискретизацией уравнений исходной краевой задачи нестационарной теплопроводности и, во-вторых, полученный таким образом разностный аналог уравнения нестационарной теплопроводности относят ко всем элементарным слоям, на которые мысленно разбивается исходная геометрическая область протекания процесса, т.е. не рассматривают отдельно, как в методе элементарного теплового баланса, пристенные слои.

теплопроводности, имеющее для неограниченной пластины в одномерной постановке вид дискретизируется относительно середины i-го слоя (рис. 1.11) следующим образом:

разностный аналог уравнения (1.68) в виде последний слои, ее ограничивающие плоскости в отличие от рассмотренного в п. 1.8.1 метода элементарных тепловых балансов мысленно «наращивают»

двумя фиктивными слоями (рис. 1.11).

T f 1,0 () Для решения системы уравнений (1.71) ее нужно замкнуть путем присоединения двух дополнительных уравнений, представляющих собой конечно-разностный аналог граничных условий. При их формулировке полагают, что между серединами первого фиктивного слоя и примыкающего к нему первого (по оси Ох) слоя пластины и между серединами последнего слоя пластины и примыкающего к нему второго фиктивного слоя температуры распределены в пространстве линейно, т.е. выполняются равенства С учетом (1.72), (1.73) граничные условия третьего рода (1.66), (1.67) записываются как Решая совместно систему уравнение (1.71), (1.74), (1.75) на каждом T1( n 1),T2( n 1),...,Ti(n11), Ti( n 1),Ti(n11),...,Tmn 1), Tmn 1), находим температуры в серединах двух фиктивных слоев и в серединах m реальных слоев, что позволит найти согласно (1.72), (1.73) и температуры ограничивающих поверхностей TWn 1) и TWn21).

Формулы (1.72) и (1.73) представляют собой задание граничных условий первого рода в том случае, если температуры TWn 1) и TWn21) не подлежат определению, а заданы. Если же заданы граничные условия ограничивающих поверхностях пластины), то с учетом (1.72), (1.73) они будут представлены в виде Если направления векторов qWn11) и qWn2 1) совпадают с направлением оси Ox, то в (1.76), (1.77) их численные значения положительны.

Метод сеток позволяет решать и многомерные нелинейные задачи нестационарной теплопроводности. В этом случае на тело наносится сетка, т.е. его, например при рассмотрении двухмерного температурного поля, мысленно делят на элементарные прямоугольники со сторонами x и y, которые представляют собой шаги по пространственным переменным x и y, при выборе в качестве шага по времени. Нетрудно видеть (рис. 1.12), что линия, ограничивающая плоскую область, в этом случае заменяется на ломаную, состоящую из участков, параллельных осям 0x и 0y.

Можно показать, что в этом случае исходное нелинейное уравнение нестационарной теплопроводности вида при использовании безытерационной неявной схемы имеет следующий конечно-разностный аналог:

элементарным прямоугольникам, включая все приповерхностные слои тела, его сеточный аналог, ограниченный ломаной линией (изображена на рис.

1.12 в виде жирной линии), должен быть мысленно «наращен» фиктивными прямоугольными элементами (изображены на рис. 1.12 примыкающими вне границы сеточного аналога). Тогда числа M и N в формуле (1.79) прямоугольников (в том числе и фиктивных) по направлениям осей 0x и 0y соответственно.

Для решения системы уравнений (1.79) ее нужно замкнуть путем присоединения дополнительных уравнений, представляющих собой конечноразностный аналог граничных условий. При их формулировке полагают, как и в одномерной задаче, что между серединами фиктивных и примыкающих к ним прямоугольников температуры распределены в пространстве линейно.

Решение построенной таким образом системы уравнений позволяет находить неизвестные температуры Ti( n 1) в центрах выделенных прямоугольников на каждом временном слое.

Экономичные схемы проведения расчетов на ЭВМ предполагают применение дробных шагов по времени (обосновано акад. Н.Н. Яненко) или расщепление исходной задачи (1.78) на серию локально-одномерных задач по направлениям координатных осей (обосновано акад. А.А.Самарским).

Применительно к рассматриваемой нами задаче вместо конечноразностных уравнений (1.51) по методу А.А. Самарского на временном слое длительностью сначала решают серию из (N–2) задач по направлению оси и затем, используя полученные значения Vi ( n1), решают серию из (M–2) задач по направлению 0y:

Необходимо отметить, что разности температур в разных точках тела в одинаковые моменты времени (в правых частях формул (1.63), (1.64), (1.65), (1.71), (1.79) и т.д.; в обеих частях (1.66), (1.67), (1.74), (1.75); в левых частях (1.76), (1.77)) построены таким образом, что температуры в них последовательно записываются в порядке их расположения по соответствующим координатным осям. Таким приемом удается простейшим способом сохранить одинаковые знаки левых и правых частей перечисленных выше формул.

1.9. Стационарная теплопроводность По истечении достаточно длительного времени от начала процесса теплопроводности (теоретически при ) температурные изменения в теле во времени прекращаются и наступает режим стационарной теплопроводности, когда температуре омывающей тело среды в нем отсутствуют градиенты температуры (устанавливается однородное температурное поле) и отсутствует теплоперенос (рис. 1.8).

Практический интерес представляет изучение стационарной теплопроводности, связанной с установлением в телах неоднородных температурных полей. Такие поля формируются, например, в одно- и многослойных пластинах, полых цилиндрах и полых шарах, когда температура омывающих сред у ограничивающих поверхностей неодинакова.

Покажем графически в качестве примера формирование во времени стационарного неоднородного одномерного температурного поля в неограниченной пластине, омываемой средами с температурами T f 1,0 и T f 2, (рис. 1.13), при постоянном значении коэффициента теплопроводности материала.

При рассмотрении стационарной теплопроводности обычно решаются два вопроса: 1) определение температуры в любом месте тела, 2) нахождение величины стационарного теплового потока через конструкцию.

Эти вопросы легко решаются, если привлечь к рассмотрению очевидный физический принцип: в стационарном тепловом режиме одинаков тепловой поток, пересекающий любую изотермическую поверхность в теле и любую его часть, ограниченную изотермическими поверхностями.

Покажем применение этого принципа на примере одномерного стационарного температурного поля в одно- и многослойных неограниченной пластине и полом цилиндре.

1.9.1. Неограниченная пластина 1.9.1.1. Вид стационарного температурного поля Стационарный тепловой поток Q(x) через отстоящий на расстоянии х участок изотермической поверхности площадью F(x) (рис. 1.4) за единицу времени равен Разделяя переменные, имеем Принимаем, что коэффициент теплопроводности одинаков, т.е. = const.

Кроме того, в стационарном тепловом режиме всегда Q(x) = const, а в пластине и F(x) = const в случае одномерного температурного поля.

Интегрирование (1.81) дает где C1 - произвольная постоянная.

Таким образом, в указанных выше предположениях распределение температуры Т по координате х в неограниченной пластине подчиняется линейному закону (рис. 1.13).

1.9.1.2. Тепловой поток через однослойную В этом случае известны температуры TW 1 и TW 2 на ограничивающих поверхностях пластины (рис. 1.14).

Проинтегрируем обе части (1.81) при следующих условиях:

Имеем тогда откуда следует формула для расчета стационарного теплового потока через конструкцию Нетрудно видеть, что формула (1.83) аналогична формуле закона Ома для участка электрической цепи, имеющей вид где I – сила тока, U – разность электрических потенциалов на концах электрического сопротивления величиной R.

Тогда, естественно, в формуле (1.83) величину /(F) следует полагать равной термическому сопротивлению переносу тепла механизмом теплопроводности через однослойную плоскую стенку:

1.9.1.3. Тепловой поток через многослойную На рис. 1.15 изображена стенка (пластина), состоящая из m слоев, у материала каждого из которых свое значение коэффициента теплопроводности i и толщина i (i [1, m]).

Тепловой поток пересекает все слои конструкции, т.е. он встречает последовательную цепочку термических сопротивлений, каждое из которых равно 1 / 1F, 2 / 2 F,..., m / m F, так что по аналогии с законом Ома для силы тока в последовательной цепи электрических сопротивлений, на концах которой заданы потенциалы (в нашем случае – заданы термические потенциалы TW 1, TW, m 1 ), имеем Физический принцип тепловой стационарности позволяет найти и температуру в любом месте конструкции. Так, температура TW 2 на стыке первого и второго слоев находится из формулы при предварительно вычисленной согласно (1.86) левой части.

1.9.1.4. Тепловой поток через одно- и многослойную В этом случае известны температуры T f 1,0 и T f 2,0 омывающих пластину сред, коэффициенты теплоотдачи 1 и 2 соответственно к левой и правой ограничивающим плоскостям. Температуры же TW 1 и TW 2 этих плоскостей неизвестны и сами подлежат определению. На рис. 1. графически изображено распределение температуры в пластине и в омывающих ее средах.

Падение температуры в омывающих пластину средах от T f 1,0 до TW слева от нее и от TW 2 до T f 2,0 справа связано с формированием на ограничивающих поверхностях пластины динамического и температурного пограничного слоев. Эти слои движущейся среды испытывают тормозящее и тепловое воздействия со стороны обтекаемой поверхности.

Ясно, что в стационарном тепловом режиме тепловой поток Q f 1,W 1, передаваемый конвективным путем от жидкости (газа) с температурой T f 1,0 к левой ограничивающей плоскости с искомой температурой TW 1, совпадает с тепловым потоком QW 1,W 2 через стенку, передаваемым механизмом теплопроводности, и с тепловым потоком QW 2, f 2, отдаваемым механизмом конвекции от правой плоскости с искомой температурой TW 2 к подвижной среде с температурой T f 2,0, т.е.

Привлекая формулы (1.22) и (1.83), имеем соответственно или Складывая левые и правые части, получаем в итоге зависимость для подсчета количества тепла через конструкцию:

Естественно назвать слагаемые и в знаменателе правой части формулы (1.87) термическими сопротивлениями переносу тепла механизмом конвекции через пограничные слои, сформировавшиеся на обтекаемой плоскости, т.е.

Формуле (1.87) часто придают вид где величина k, равная называется коэффициентом теплопередачи.

Рассмотрение формул (1.87), (1.83), (1.86) свидетельствует о том, что величина теплового потока всегда определяется как частное от деления разности заданных температур на сумму термических сопротивлений, находящихся между ними.

Температуры TW 1 и TW 2, естественно, определяются из соотношений в которых левая часть вычислена согласно (1.87).

В заключение приведем и формулу для определения величины Q в случае многослойной плоской стенки (рис. 1.15) для ГУ-III. В этом случае формула (1.87) принимает вид в котором учитывается то обстоятельство, что количество термических сопротивлений со стороны стенки увеличивается.

1.9.2. Полый цилиндр 1.9.2.1. Вид стационарного температурного поля На рис. 1.17 изображено сечение однослойного полого цилиндра длиной L, внутренняя и наружная поверхности которого отстоят на радиусы r1 и r2 от оси симметрии.

Стационарный тепловой поток Q(r), пересекающий отстоящую на радиус r изотермическую поверхность F(r) за единицу времени, равен Разделяя переменные, имеем Согласно физическому принципу стационарности, справедливо равенство Q(r) = const. Тогда интегрирование (1.90) при постоянном коэффициенте теплопроводности = const дает где C1 – произвольная постоянная.

Таким образом, стационарное распределение температуры T по радиусу r в полом цилиндре подчиняется нелинейному (логарифмическому) закону (рис. 1.18).

1.9.2.2. Тепловой поток через однослойный В этом случае известны температуры TW 1 и TW 2 на ограничивающих поверхностях цилиндра (рис. 1.18).

Проинтегрируем обе части (1.90) при следующих условиях:

т.е. вычислим интегралы и получим равенство откуда следует формула для расчета теплового потока через конструкцию где d1 = 2r1, d2 = 2r2.

Величина ln 2 в формуле (1.92) представляет собой термическое сопротивление переносу тепла механизмом теплопроводности через однослойный полый цилиндр, т.е.

(1.93) 1.9.2.3. Тепловой поток через многослойный На рис. 1.19 изображен такой цилиндр, состоящий из m слоев, у материала каждого из которых свое значение коэффициента теплопроводности i и каждый из которых ограничен радиусами ri и ri+ (i [1, m]).

На внутренней поверхности цилиндра (r = r1) задана температура TW 1, а на наружной (r = rm+1) – температура TW,m1.

По аналогии с изложенным для многослойной пластины (формула (1.86)) для рассматриваемого случая получаем следующую зависимость для величины теплового потока:

Физический принцип стационарности позволяет найти температуру в любом месте конструкции. Так, например, температура T W2 на стыке первого и второго слоев находится из формулы при известной согласно (1.94) левой части и т.д.

1.9.2.4. Тепловой поток через одно- и многослойный В этом случае известны температура T f 1,0 и коэффициент теплоотдачи 1 со стороны среды, движущейся внутри полого цилиндра (трубы), и температура T f 2,0 и коэффициент теплоотдачи 2 со стороны среды, омывающей его снаружи.

На рис. 1.20 изображена соответствующая температурная схема.

Падение температуры в омывающих средах от T f 1,0 до TW 1 внутри цилиндра и от TW 2 до T f 2,0 снаружи происходит в пограничных слоях.

Условие стационарности теплового режима таково (см. 1.9.1.4):

Привлекая формулы (1.22) и (1.92), имеем соответственно или Складывая левые и правые части, получаем формулу для расчета теплового потока через конструкцию:

Слагаемые являются термическими сопротивлениями теплопереносу механизмом конвекции через пограничные слои, сформировавшиеся на цилиндрической поверхности, т.е.

Формуле (1.95) можно придать вид где величина kl, равная называется линейным коэффициентом теплопередачи.

Величина теплового потока через трубу длиной 1 м называется линейной плотностью теплового потока, которая рассчитывается как где RT, l – линейное термическое сопротивление конструкции.

Рассмотрение формул (1.92), (1.94), (1.95) свидетельствует о том, что величина теплового потока и в случае полого цилиндра определяется как частное от деления разности заданных температур на сумму термических сопротивлений, находящихся между ними.

Температуры T W1 и T W2, естественно, определяются из соотношений в которых левая часть вычислена согласно (1.95).

В заключение приведем и зависимость для определения величины Q в случае многослойной цилиндрической стенки (рис. 1.19) при ГУ-III. В этом случае формула (1.95) принимает вид 1.9.3. Обобщенное описание стационарной теплопроводности Формулы (1.81), (1.90) могут быть не только объединены в одну, но и применены для полого шара, если их записать в следующем виде:

где x – координата точки, отсчитанная от ограничивающей плоскости геометрической формы тела, равный единице, двум или трем для пластины, полого цилиндра или полого шара соответственно; A – площадь поверхности пластины (A = F), площадь цилиндрической поверхности ( A 2L ) и шаровой поверхности ( A 4 ) единичного радиуса.

Интегрирование степенной функции в правой части (1.97) при Q( x) Q const, const и A const дает при граничных условиях первого рода поверхностей платины, полых цилиндра и шара, на которых известны температуры TW 1 и TW 2.

Для полого цилиндра ( s 2 ) в знаменателе (1.98) имеем неопределенность вида 0 / 0, раскрытие которой по правилу Лопиталя дает Однако можно пользоваться формулой (1.98) для полого цилиндра и непосредственно без указанного выше преобразования, если вместо s положить s 2, где – малое число, которое мы рекомендуем принять равным 10 3.

Для многослойных конструкций расчет стационарного теплового потока в общем случае следует проводить по формуле В (1.99) величины Ax1s 1 и Axm11 - это площади поверхностей, соответственно; m - количество слоев материала (см. (1.58), (1.60), (1.66), (1.68)).

Для граничных условий первого рода (ГУ-I) в числителе (1.99) надо положить T TW 1 TW,m1, а в знаменателе отбросить первое и последнее слагаемые. Для граничных условий третьего рода (ГУ-III) имеем T T f 1,0 T f 2,0 при сохранении всех слагаемых в знаменателе.

1.9.4. Тепловая изоляция конструкций Тепловая изоляция конструкций различного назначения и, прежде всего, трубопроводов, а также цилиндрических и сферических сосудов имеет целью уменьшение проходящего через них теплового потока. Этого можно достичь в том случае, если в результате нанесения на поверхность тела теплоизолирующего материала величина термического сопротивления конструкции возрастает.

Рассмотрим фрагмент конструкции до нанесения тепловой изоляции (рис. 1.21, а) и после ее нанесения (рис. 1.21, б).

В этом случае согласно формуле (1.99) термическое сопротивление неизолированной конструкции равно а после нанесения слоя изоляции на ее наружную поверхность имеем материала.

Изменение термического сопротивления изолированной конструкции равно Функция RT,из согласно (1.102') равна сумме двух слагаемых, имеющих разные знаки. С ростом x3 первое из этих слагаемых возрастает, а второе – уменьшается. Физический смысл такого их поведения состоит в том, что первое слагаемое в (1.102'), равное представляет собой термическое сопротивление переносу тепла теплопроводностью через тепловую изоляцию, возрастающее с увеличением т.е. с увеличением толщины изоляции. Второе же слагаемое в (1.102') представляет собой изменение термического сопротивления переносу тепла конвекцией со стороны окружающей конструкцию наружной среды, вызванное увеличением площади наружной поверхности (для цилиндра и шара, когда s 1 ) вследствие нанесения тепловой изоляции, убывающее с увеличением x3, так как имеет место неравенство Очевидно, что нанесение тепловой изоляции должно приводить к тому, чтобы изменение термического сопротивления конструкции было положительной величиной RT,из 0, так как именно это и дает уменьшение теплового потока через теплоизолированную конструкцию. В итоге при известных 2, x2, x3, из приходим к необходимости выполнения неравенства С учетом рекомендаций п.1.9.3 по выбору для цилиндрической трубы величины s = 2 получаем на основании (1.103) следующее ограничение на коэффициент теплопроводности теплоизоляционного материала:

Анализ формулы (1.104) показывает, что для неограниченной пластины ( s 1 ) имеем из, т.е. нанесение на пластину любого материала с конечной теплопроводностью приводит к уменьшению теплового потока через нее.

Для полого цилиндра ( s 2 ) в правой части (1.104) получаем неопределенность вида 0 / 0, раскрытие которой по правилу Лопиталя дает и, наконец, для полого шара ( s 3 ) получаем Выясним влияние координаты x2 наружной поверхности тела (а, точнее говоря, кривизны этой поверхности 1/x2) на эффективность нанесения тепловой изоляции с наперед заданным коэффициентом теплопроводности из изоляционного материала. С этой целью проведем анализ на наличие экстремума функции RT,из по аргументу x2. Первая производная от RT,из по x2 дает x2 0, то получаем так называемое критическое значение координаты x2 равным откуда для цилиндра (s = 2) следует Так как x2 представляет собой радиус цилиндра, то вместо (1.109) имеем хорошо известный в теплотехнике результат:

Покажем, что в точке x2кр функция RT,из действительно достигает экстремума и этим экстремумом является минимум. Используя левую часть (1.107), имеем Подстановка в (1.111) вместо x2 его критического значения (1.108) дает Тем самым доказано, что функция RT,из действительно имеет экстремум, которым является минимум.

Практическим приложением полученного результата является то, что нанесение тепловой изоляции на поверхность цилиндрической трубы приводит к увеличению термического сопротивления RT,из, а следовательно, к уменьшению теплового потока Q через нее лишь в том случае, когда наружный диаметр трубы d 2 d 2кр. В противном случае, нанесение тепловой изоляции на наружную поверхность трубы приведет к противоположному эффекту.

Графическая иллюстрация проведенного выше анализа дана на рис. 1.22, на котором линии а и в соответствуют непрерывному уменьшению тепловых потерь через конструкцию (росту ее суммарного термического противоположному случаю d 2 d 2kp, когда нанесение тепловой изоляции до порогового значения (d из / d 2 ) п не приводит к полезному эффекту. Величина dиз.п равна 2х3,п и находится из формулы (1.102) при RT,из 0.

Из (1.108) следует, что для полого шара (s = 3) критический диаметр наружной поверхности оказывается вдвое больше критического диаметра наружной поверхности цилиндра.

Все приведенные здесь результаты получены в предположении того, что одинаковы значения коэффициента теплоотдачи 2 со стороны среды, теплоизолированного тела.

1.9.5. Нелинейная стационарная теплопроводность Выше была рассмотрена стационарная теплопроводность при = const.

теплопроводности от температуры. Рассмотрим в качестве примера нелинейную стационарную теплопроводность в неограниченной пластине (рис. 1.23) для трех видов материала: а) = const; б) растет с при ГУ-I ростом температуры; в) убывает с ростом температуры.

Для этих случаев зависимость (1.2) для расчета плотности теплового потока дает Указанная величина q положительна (q > 0) и, пересекая изотермические поверхности пластины, везде одинакова.

Тогда имеем также из (1.112) В диаграмме T-x (рис. 1.23) производная dT/dx численно равна тангенсу угла наклона касательной к любой линии, проходящей в ней.

При = const имеем на основании (1.113) т.е. получаем линейное распределение температуры по толщине пластины (линия a).

При росте с увеличением температуры в тех местах пластины, где температура выше, будет соответственно меньше модуль производной dT/dx (линия б).

И, наконец, при уменьшении с ростом температуры распределение температуры будет соответствовать линии в.

Таким образом, в пластине, изготовленной из реального материала, распределение температуры по координате x является нелинейным.

Зависимость (T ) влияет не только на вид стационарного температурного поля: она приводит и к необходимости учета этой зависимости для подсчета количества тепла Q, проходящего через тело.

Для рассмотренной выше неограниченной пластины при простейшей, линейной зависимости от температуры вместо (1.52) имеем уже уравнение Q( x) Q const и для одномерного распространения тепла в пластине F ( x) F const, приходим вместо (1.115) к уравнению Полагая известными температуры TW 1 и TW 2, получаем Левая часть (1.117) приводится к следующему виду:

Нетрудно видеть, что в соответствии с формулой (1.114) второй сомножитель в правой части последнего равенства представляет собой коэффициент теплопроводности материала среднеарифметическому значению температуры Tcp (TW 1 TW 2 ) / 2. Тогда вместо (1.117) получаем следующую формулу для расчета количества тепла Q, проходящего за единицу времени через пластину:

2. КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН

Для решения задач нестационарной и стационарной теплопроводности с граничными условиями третьего рода требуется знание коэффициента теплоотдачи. Формулы для его определения при различном характере теплового взаимодействия движущейся среды и обтекаемой поверхности твердого тела устанавливаются в настоящем разделе.

Помимо этого в некоторых случаях возникает необходимость и в определении температурных полей в потоке жидкости или газа.

Различают конвективный теплообмен при вынужденном и при свободном течении. В первом случае поток побуждается к движению насосами, вентиляторами, компрессорами и т.д.

Во втором же случае движение жидкости или газа возникает у поверхности теплого или холодного тела, внесенного в их объем. При наличии сил тяжести (сил внешнего поля) у поверхности нагретого тела возникает восходящий поток, а у поверхности холодного тела - нисходящий поток. Свободное движение в этом случае называется термическим.

Очевидно, что оно будет продолжаться до тех пор, пока имеется разность температур среды T f и поверхности тела T W. И при вынужденной, и при свободной конвекции различают ламинарный, переходной и турбулентный режимы течения.

Не вдаваясь в детали, укажем на то, что при ламинарном движении поток «следует» руслу, элементарные струйки не перемешиваются друг с другом, так что перенос тепла от жидкости к омываемой поверхности (и наоборот) осуществляется лишь за счет хаотически движущихся молекул (атомов).

При турбулентном движении элементарные струйки жидкости перемешиваются, так что в потоке наряду с хаотически движущимися молекулами (атомами) хаотически движутся и турбулентные вихри, содержащие огромные количества молекул (атомов). Достигая, наряду с молекулами, обтекаемой поверхности, вихри отдают ей (или воспринимают от нее) тепло. Ясно, что конвективный теплообмен при турбулентном течении значительно интенсивнее, чем при ламинарном.

При переходном режиме течения в потоке одновременно существуют и чередуются во времени и пространстве участки ламинарного и турбулентного движения.

2.1. Схема В.Нуссельта Построение зависимостей для определения коэффициента теплоотдачи имеет в своем основании выдвинутое в 1910 г. немецким физиком В.Нуссельтом предположение о том, что каким бы ни был режим вынужденного или свободного течения жидкости, в любом случае у поверхности твердого тела формируется ламинарное движение. Таким образом, В.Нуссельт предложил считать, что перенос тепла в тонком слое жидкости (газа) у обтекаемой поверхности имеет молекулярный характер, так что для этого слоя справедливо использование гипотезы Фурье для расчета плотности теплового потока.

На рис. 2.1 изображено распределение температуры, которая изменяется от значения TW на омываемой поверхности до температуры T f, невозмущенной части течения, принимая промежуточные значения T f в той его части, которая испытывает «холодящее» действие стенки.

Значение плотности теплового потока в стенку qW (q | y 0 ) может быть рассчитано двояко:

1) с использованием искомого коэффициента теплоотдачи по формуле (1.22) 2) с привлечением гипотезы Фурье для описания переноса тепла в ламинарно движущихся пристенных слоях жидкости где f - коэффициент молекулярной теплопроводности движущейся среды (находится из справочных таблиц или графиков) и Приравнивая правые части формул (2.1) и (2.2), получаем зависимость для определения в рассматриваемом сечении потока Воспользоваться формулой (2.3) можно, очевидно, лишь в том случае, если предварительно найдено распределение температуры в движущейся среде.

Для этого надо аналитически или численно решить краевую задачу о переносе тепла в потоке жидкости или газа, включающую в себя:

1) уравнение энергии - уравнение Фурье – Кирхгофа, 2) уравнение движения - например, в форме уравнения Навье–Стокса, 3) уравнение неразрывности потока - закон сохранения массы, 4) уравнение состояния движущейся среды: например, для идеального газа - это уравнение Менделеева–Клапейрона, 5) математическую формулировку условий однозначности решения системы уравнений, приведенной в пп. 1-4: описания геометрической области протекания процесса и находящейся в ней среды, распределения температуры и скорости потока в начальный момент времени, распределения температуры и скорости на ограничивающих движущуюся среду поверхностях и во входных сечениях.

Решение указанной краевой задачи в общем случае встречает значительные трудности даже при использовании численных методов.

Рациональный выход для описания конвективного теплообмена дает применение методов теории подобия физических явлений и их моделирования.

2.2. Основные положения теории подобия и физического моделирования Еще И. Ньютон распространил понятие геометрического подобия на физические явления и ввел понятия их кинематического и динамического подобия. Отметим, что одно из двух подобных явлений одинаковой физической природы принято называть натурным (натурное явление или «натура»), а сравниваемое с ним явление при определенных условиях модельным (модельное явление или «модель»). Кинематическое подобие сравниваемых явлений имеет место в том случае, если в каждой паре сходственным образом расположенных точек «натуры» и «модели»

одинаково отношение модулей векторов скорости при их параллельности и сонаправленности. При динамическом подобии сказанное выше относится к векторам одноименных сил.

Для того чтобы установить условия, необходимые и достаточные для подобия, основываясь на физических соображениях, рассмотрим течение жидкости или газа в натурном и модельном каналах (цилиндрических трубах), на оси которых расположены шары (рис. 2.2), и теплообмен в них.

Такое рассмотрение впервые (в несколько отличающейся форме) было предложено на лекциях для студентов Геттингенского университета в Германии великим механиком 20-го века Л.Прандтлем.

Следуя Л.Прандтлю, зададимся вопросом: «Где еще в природе можно встретить такие же по форме линии тока, которые сформировались при обтекании шара в круглом канале?» (рис. 2.2, а). Ответ на этот вопрос ему представлялся очевидным: «При обтекании шара в круглом канале какойлибо жидкостью или газом» (рис. 2.2, б). Кроме того, должны выполняться и другие необходимые, а также достаточные условия подобия «натуры» и «модели».

2.2.1. Необходимые условия для подобия распределений Необходимые условия для подобия распределения скорости совершенно очевидны:

1) сравниваемые объекты должны быть геометрически подобны друг другу: они могут быть, например, как в рассматриваемом случае, цилиндрическими трубами с шарами на оси при соотношении размеров 2) свойства среды в них должны подобным образом зависеть от координат, времени, температуры и так далее;

3) распределение скоростей w1 и w2 во входном сечении "натуры" ( x1 0 ) и "модели" ( x2 0 ) должно быть подобным друг другу 4) если скорость потока на поверхности натурного канала равна нулю, т.е.

выполняется гипотеза "прилипания" ближайших к обтекаемой поверхности "натуры" молекул движущейся среды, то аналогичные условия должны быть реализованы и в модели.

Необходимые условия для подобия распределения температуры в движущейся среде, безусловно, должны содержать все перечисленные выше необходимые условия для подобия распределения скорости, которые должны быть дополнены условиями подобия распределения температур во входном сечении “натуры” и “модели” и на всех обтекаемых поверхностях (или на этих поверхностях должны быть подобны распределения плотности тепловых потоков).

При протекании нестационарных процессов необходимые условия для подобия распределения скорости и температуры в потоках должны включать подобие их начальных распределений.

Отметим, что если соблюдены необходимые условия подобия явлений при размерном представлении входящих в них величин, то тем самым обеспечено совпадение этих условий в безразмерном представлении.

Судить, например, о подобии натурного и модельного течений нужно, сравнивая векторы скорости или векторы одноименных сил в каждой паре сходственным образом расположенных точек M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2) «натурного» и «модельного» пространства, т.е. выбор точек M1 и M2 должен подчиняться соотношениям сходственности их расположения 2.2.2. Достаточные условия для подобия вынужденных течений Они устанавливаются, основываясь на следующих рассуждениях.

На движущуюся вынужденно жидкость (газ), находящуюся в элементе пространства «натуры» или «модели», действуют сила тяжести Fg, сила вязкостного трения F и сила Fp, связанная с наличием градиента давления вдоль потока. Векторная сумма этих сил является равнодействующей, а ее значение, взятое с противоположным знаком, называется силой инерции Fi.

Согласно принципу Даламбера имеем для выделенного элемента пространства соотношение представляющее собой уравнение Навье–Стокса, записанное в векторах сил, действующих на движущуюся среду.

В безразмерной форме получаем вместо (2.6) Ясно, что если в каждой паре сходственным образом расположенных точек пространства «натуры» и «модели» одноименные слагаемые левой части (2.6) совпадают друг с другом, то при выполнении необходимых условий этого достаточно, чтобы утверждать о подобии «натурного» и «модельного» течений, так как уравнения движения в форме (2.6) и условия однозначности их решения становятся одинаковыми для «натуры» и «модели».

В теории подобия доказывается, что достаточно сравнивать между собой не сами отношения указанных сил, а их меры.

Для вынужденного обтекания потоком пластины или при его течении в прямолинейном канале постоянного поперечного сечения влияние градиента давления отсутствует или незначительно и развитие процесса (формирование распределения скорости) определяется отношением силы инерции Fi к силе вязкостного трения F.

Вычислим меру отношения этих сил для частного случая стационарного течения среды с постоянными физическими свойствами. В этом случае силы Fi и F, действующие на жидкость или газ, находящиеся в единице объема, таковы:

Надо помнить, что операторы действуют не на вектор w, а на его проекцию wx, wy, wz на оси x, y и z соответственно.

В формуле (2.7) и - это соответственно плотность жидкости (газа) и коэффициент динамической вязкости, а оператор ( w grad) таков:

Мера отношения обозначается как O i (O – первая буква латинского слова Ordo (порядок)).

В теории подобия показывается, что в качестве меры искомой величины f назначается какое-либо известное при постановке задачи ее характерное значение f0, важное для развития явления. В качестве меры производных f/x, 2 f/x 2... назначаются отношения f0 /x0, f0 /x0 и т.д., где x - характерное известное значение аргумента x. Меры обязательно назначаются одинаковым образом для «натуры» и «модели». Меры для известных величин - в частности, свойств среды - не назначаются: они выбираются из справочного материала по важной для исследуемого процесса (характерной) переменной, например, по характерной температуре и др.

Назначим в качестве меры для w известную скорость потока w0 на входе в трубу, а в качестве меры для протяженностей x, y, z - ее диаметр d.

Тогда имеем вместо (2.8) Безразмерный комплекс в правой части (2.9) является мерой отношения силы инерции к силе вязкостного трения, его величина определяет характер вынужденного течения жидкости (газа). Он называется критерием Рейнольдса и обозначается Re (Reynolds):

где = / - коэффициент кинематической вязкости.

Итак, для подобия распределения скоростей в двух безградиентных вынужденных течениях в каналах достаточно, чтобы выполнялось равенство критериев Рейнольдса, составленных для «натуры» и «модели»:

Если обозначить характерный для потока размер через l0 (в рассматриваемом случае l0 d), то достаточное условие подобия двух вынужденных течений (2.10) принимает более общий вид 2.2.3. Достаточные условия для подобия свободных термических Для суждения о подобии двух термических свободных течений вместо (2.6) приходится рассматривать уравнение в котором F - сила плавучести (подъемная или опускная), действующая на жидкость (газ).

Согласно закону Архимеда эта сила для жидкости (газа) в пространстве единичного объема определяется следующим образом где g - ускорение внешнего поля (в частности, земное ускорение), d отличие плотности вещества в выделенном элементе пространства от значений в его окрестности из-за наличия соответствующей разности температур dT.

Учитывая связь между плотностью и удельным объемом v, преобразуем (2.12) следующим образом Здесь - термический коэффициент объемного расширения вещества при p = const, так как процесссвободной конвекции, как правило, протекает в изобарных условиях (сила Fp в уравнении (2.11) отсутствует).

Этот коэффициент для жидкостей определен экспериментально и сведения о его значениях сообщаются в справочном материале. Для идеального газа, когда справедливо уравнение состояния МенделееваКлапейрона в форме имеем При свободном движении сила инерции Fi мала и характер течения определяется мерой отношения силы плавучести и силы вязкостного трения, равной где T - характерная для процесса разность температур. В качестве таковой принимается разность температуры поверхности T W и температуры жидкости (газа) T f,0 на удалении от нее (теоретически на бесконечном удалении).

Нетрудно видеть, что при свободной конвекции не имеется соображений для назначения в (2.13) характерной скорости w0 - поле скоростей в этом процессе формируется таким образом, что величина скорости ни в одной точке пространства заведомо неизвестна.

Итак, для подобия распределений скоростей в двух термически свободных течениях достаточно равенства мер отношений F и F, составленных для «натуры» и «модели»:

Естественным образом возникает вопрос об исключении в (2.13), (2.14) неизвестной характерной скорости w0. Для этого надо рассмотреть достаточные условия для подобия температурных распределений.

2.2.4. Достаточные условия для подобия распределений скорости в вынужденных течениях с наложением свободной термической конвекции При вынужденном ламинарном режиме течения жидкости (газа) в трубах при больших разностях температур потока и омываемой им поверхности процессы теплообмена протекают таким образом, что формирующееся поле температуры и связанное с ним неоднородное поле плотности приводят к возникновению столь сильной свободной термической конвекции, влиянием которой на основное течение пренебречь недопустимо.

В этом случае имеем гравитационно-вязкостное течение, уравнение движения которого таково:

или Достаточным условием для подобия таких течений в “натуре” и “модели”, как было показано выше, является равенство вычисленных для них мер отношения важнейших сил:

2.2.5. Достаточные условия для подобия температурных полей в среде, движущейся вынужденно или свободно Подобие температурных полей содержит в себе, прежде всего, требование подобия полей скорости, достаточным условием для которого при вынужденном движении является равенство вычисленных для “натуры” и “модели” критериев Рейнольдса Re w0l0 /, при свободном движении – гравитационно-вязкостном течении – равенство критерия Рейнольдса и безразмерного комплекса (gT ) /(w0 / l0 ).

Кроме того, для суждения о подобии температурных полей в двух сравниваемых вынужденных или свободных течениях надо вычислить для них меры отношения алгебраической суммы количества тепла Qк, вносимого и выносимого движущейся средой в выделенный элемент пространства механизмом конвекции, к алгебраической сумме количества тепла Qт, которое вносится и выносится механизмом молекулярной теплопроводности, т.е. для этого достаточно, чтобы выполнялось равенство На рис. 2.3 потоки Qк и Qт показаны схематически. Для единичного объема при постоянных свойствах среды они равны соответственно Мера отношения Qк и Qт равна температуропроводности, T f0 характерная разность температур в потоке.

Тепловые потоки Qк и Qт, естественно, должны входить в уравнение переноса тепла в движущейся среде (его называют также уравнением энергии или уравнением Фурье–Кирхгофа), ранее указанное в п. 2.1 и записываемое как в левой части которого субстанциональная производная D / d учитывает изменение Tf в выделенном элементарном объеме dxdydz (рис. 2.3) в связи с непосредственным течением времени, а также в связи с тем, что за время d при прохождении через выделенный элементарный объем в общем случае меняются координаты центра масс единичного объема жидкости (газа) на dx, dy, dz субстанциональная производная равна (здесь учтено, что производные от координат по времени дают соответствующие проекции wx, wy, wz вектора скорости w ).

Безразмерный комплекс в правой части (2.17) является мерой отношения тепловых потоков, переносимых механизмом конвекции и теплопроводности, его величина определяет температурные поля в движущейся среде. Он называется критерием Пекле и обозначается Pe (Peclet):

Итак, для подобия распределения температуры в двух сравниваемых течениях достаточно, чтобы выполнялись равенства указанных выше безразмерных комплексов, обеспечивающих гидродинамическое подобие течений, и составленных для них критериев Пекле Выполняя элементарные преобразования, получаем также где безразмерное отношение / a f называется критерием Прандтля и обозначается Pr (Prandtl) в честь уже упомянутого ученого Л. Прандтля.

2.2.6. Необходимые и достаточные условия подобия физических Суммируя все вышеизложенное в отношении подобия распределений скорости и температуры в потоке и распространяя полученные в этом отношении результаты и на другие физические явления и процессы, приходим к следующему выводу: для подобия двух явлений одинаковой физической природы необходимо подобие распределений, соответствующих условиям однозначности решения исследуемой краевой задачи, т.е. необходимо подобие геометрических областей, свойств среды, начальных и граничных распределений искомых величин, и достаточно равенства одноименных критериев подобия, составленных для сравниваемых явлений.

Это положение составляет суть основной (третьей) теоремы подобия и физического моделирования. Ее сформулировали отечественные ученые акад. М.В. Кирпичев и проф. А.А. Гухман, и она названа в их честь теоремой Кирпичева–Гухмана. Область ее применения весьма обширна, что и будет показано по мере изложения курса.

Подчеркнем, что критерий подобия является мерой отношения важнейших для протекания физических процессов сил, количеств энергии и др.

Считаем необходимым обратить внимание на то, что в ряде отечественных и зарубежных научных изданий наряду с термином «критерий подобия» используется и термин «число подобия».

2.3. Установление структуры формул для описания конвективного теплообмена Для подобия распределения температуры в двух сходственным образом расположенных сечениях натурного и модельного течений необходимо геометрическое подобие областей и подобие распределений скорости и температуры на всех ограничивающих поверхностях.

Пусть, например, соблюдается подобие осесимметричных температурных полей в натурной и модельной круглых трубах (рис. 2.4).

Согласно схеме Нуссельта имеем величины плотности тепловых потоков в поверхность трубы равными:

1) для «натуры»

2) для «модели»

Из формул (2.19), (2.20) следует Умножим обе части (2.19), (2.20) соответственно на d1 и d2 и получим Учитывая, что температуры TW 1 и TW 2 омываемых поверхностей не являются функцией радиусов r1 и r2, получаем вместо (2.19), (2.20) Введя безразмерные относительные температуры движущихся сред и безразмерные радиусы по правилу вместо (2.19), (2.20) записываем Очевидно, что подобию распределений искомых параметров в размерном представлении соответствует тождественность их распределений в безразмерном виде. Поэтому правые части формул (2.19 IV) и (2.20 IV) равны друг другу, так что приходим к равенству их левых частей Если вместо диаметра d ввести обозначение характерного размера l0, то получим также равенство Безразмерный комплекс l0/ f, который содержит в себе искомый коэффициент теплоотдачи, называется числом Нуссельта и обозначается Nu (Nusselt).

Итак, следствием подобия температурных распределений в «натуре» и «модели» является равенство составленных для них чисел Нуссельта.

Достаточным же условием для этого подобия при вынужденном движении является равенство критериев Рейнольдса и Пекле, составленных для «натуры» и «модели», так что в этом случае справедлива связь Достаточным условием для подобия температурных полей при свободной конвекции является равенство безразмерных комплексов O F / F и критериев Пекле, поэтому имеем При свободной конвекции неизвестна характерная скорость w0. Чтобы ее исключить, умножим друг на друга аргументы для числа Нуссельта:

Получившийся при этом безразмерный комплекс составлен из величин, заданных при постановке задачи о развитии процесса свободной конвекции.

Он называется критерием Рэлея и обозначается Ra (Rayleigh) в честь выдающегося физика:

Таким образом, для свободной термической конвекции равенство критериев Рэлея приводит к равенству чисел Нуссельта, так что справедлива зависимость При гравитационо-вязкостном течении достаточным условием для подобия температурных полей является равенство критериев Рейнольдса, безразмерных комплексов O F / F gT w0 / l0 и критериев Пекле, поэтому имеем В приведенных здесь безразмерных аргументах для Nu характерная скорость w0 известна для вынужденного движения и не имеет прямого отношения к свободному термическому движению. По этой причине, а также с целью уменьшения числа аргументов в правой части (2.25) умножим, как и в случае свободной конвекции, когда это было совершенно необходимо, безразмерный комплекс O( F / F ) на критерий Pe и получим, что для подобия распределений и скорости и температуры в рассмотренных течениях достаточно равенства критериев Re и Ra:

В форме (2.23)–(2.25) аналитически, численно или экспериментально устанавливаются зависимости для описания конвективного теплообмена, называемые критериальными. В них дается связь между безразмерной интенсивностью конвективного теплообмена, представленной в виде числа Нуссельта, и определяющими его критериями подобия.

В структуре формул (2.23)–(2.25) в качестве аргументов для числа Нуссельта Nu выступают критерии подобия Re, Pe, Pr, Ra, используемые для суждения о выполнении достаточных условий подобия исследуемых процессов теплообмена.

Необходимые же условия подобия этих процессов находят свое отражение в том, что зависимости вида (2.23)–(2.25) относят к конкретной геометрической области: к обтеканию пластины, к течению в канале, к обтеканию трубы или пучка труб и т.д. При необходимости в правую часть формул (2.23)–(2.25) вносят сомножители – поправки на влияние особенностей геометрической области.

Так, при течении в трубах вводится функция влияния CL f ( L / d ) на интенсивность теплообмена относительной протяженности, при обтекании пучка труб используются две поправки – функции отношения продольного и поперечного шага между трубами к их диаметру и т.д.

Критериальные зависимости относят к конкретным граничным условиям: например, к условиям постоянных или изменяющихся определенным образом в направлении течения жидкости (газа) температуры обтекаемой поверхности, плотности теплового потока через нее и т.д.

В структуре формул (2.23)–(2.25) естественным образом появляются также сомножители – поправки на зависимость плотности, теплоемкости, теплопроводности и вязкости от температуры, координат, времени и др., подобие которых в натурном и модельном явлениях необходимо. На интенсивности конвективного теплообмена наибольшим образом сказывается зависимость динамической вязкости от температуры. Переход от требования совпадения функций 1 2 относительной динамической вязкости от температуры для натуры и модели к их мерам O(1 ) O(2 ) дает в качестве сомножителя-поправки в правую часть (2.23)–(2.25) так называемый температурный фактор Ct f ( f / W ), в котором f и W выбраны при характерных температурах потока T f,0 и поверхности TW соответственно.

При рассмотрении нестационарных процессов в число аргументов для искомых безразмерных переменных естественным образом вводится относительное (безразмерное) время / 0 с выбором в качестве известного отрезка времени в периодическом процессе или характеристического отрезка времени в апериодическом процессе. Можно показать, что в апериодических процессах нестационарной теплопроводности или конвективного теплообмена имеем 0 l0 / a. При этом сравниваемые явления относят к подобным начальным распределениям искомых переменных.

2.4. Особенности формирования динамического и теплового пограничных слоев во внешней и внутренней задачах 2.4.1. Обтекание пластины (внешняя задача) Внешнее вынужденное обтекание тел различной конфигурации характеризуется тем, что поток жидкости (газа) по нормали к омываемой поверхности простирается достаточно далеко от нее (теоретически в бесконечность). Хорошо изученными считаются гидродинамика и теплообмен при внешнем обтекании пластины и одиночного цилиндра.

Рассмотрим, как на поверхности обтекаемой пластины формируется динамический и тепловой пограничные слои.

Пусть у передней кромки пластины x = 0 профиль скоростей равномерный, т.е. в каждой точке пространства над пластиной в этом поперечном сечении скорость везде одинакова и равна скорости w набегающего потока (рис. 2.5, а).

В настоящее время общепринята так называемая «гипотеза прилипания», согласно которой ближайшие к поверхности тела молекулы жидкости (газа) прилипают к ней, их скорость становится равной нулю.



Pages:     || 2 |


Похожие работы:

«ОАО НТЦ Промышленная безопасность СТРОИТЕЛЬНЫЙ КОНТРОЛЬ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ Под общей редакцией д.т.н., профессора В.С. Котельникова МОСКВА-2010 г. 2 Ответственные составители: В.С. Котельников, Н.П.Четверик Методическое пособие разработано для учебных заведений, саморегулируемых организаций в области инженерных изысканий, архитектурно-строительного проектирования, строительства, реконструкции, капитального ремонта объектов капитального строительства, студентов, преподавателей, слушателей и...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ОРЛОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ФАКУЛЬТЕТ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Кафедра Технология машиностроения МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ дисциплина – Гидравлика, пневматика и термодинамика специальность – 220301Автоматизация технологических процессов и производств Орел 2010 Автор: преподаватель ФСПО ТИ Орел ГТУ, к.т.н. Е.Н. Дёмина Одобрено на заседании кафедры Технология...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Рязанский государственный университет имени С.А. Есенина Утверждено на заседании кафедры психологии личности, специальной психологии и коррекционной педагогики Протокол № 5 от 16.01.2009 г. Зав. кафедрой д-р психол. наук, проф. Н.А. Фомина ОБУЧЕНИЕ И ВОСПИТАНИЕ ДЕТЕЙ С НАРУШЕНИЕМ ИНТЕЛЛЕКТА Программа дисциплины и учебно-методические рекомендации Для...»

«КАЗАХСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ З.Т. ТАСТАНОВА ИСТОРИЯ РЕЛИГИЙ КАЗАХСТАНА Учебное пособие Алматы, 2012 ББК 378.147 Рецензент: Торланбаева К.У., д.и.н., доцент кафедры Международные отношения и регионоведение Университета Туран. Тастанова З.Т. История религий Казахстана. //Учебное пособие. г.Алматы, КазНАУ, изд. Айтмар, 2012. – 120 стр. ISBN 978-601-241-305-2 Данное учебное пособие имеет цель привлечь внимание читателя к конфессиональным проблемам, а также дать понятие о религиях в...»

«1 Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Липецкий государственный технический университет УТВЕРЖДАЮ Декан экономического факультета _В.В. Московцев 20_ г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ) МАРКЕТИНГ наименование дисциплины (модуля) Направление подготовки 080200.62 Менеджмент (код и направление подготовки) Профиль подготовки Производственный менеджмент (наименование профиля подготовки) Квалификация (степень) бакалавр (бакалавр / магистр /...»

«Данные об обеспеченности учебно-методической документацией Направление (специальность): 080507 Менеджмент организации Специализация: Финансовый менеджмент № Наименование Наименование Количество Обеспече п/п дисциплины учебников, учебно-методических, методических пособий, экземпляро нность разработок и рекомендаций в студентов учебной литератур ой (экземпля ров на одного студента) Цикл гуманитарных и социально-экономических дисциплин 1. Иностранный язык 1.Бурова З. И. Учебник английского языка...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Геолого-геофизический факультет Кафедра геофизики А. В. ЛАДЫНИН ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ГЕОФИЗИЧЕСКИЕ ПОЛЯ В ЗАДАЧАХ ГЕОЛОГИИ Учебное пособие Новосибирск 2008 УДК 550.83 ББК Д443.4 я 731 Л157 Ладынин А. В. Потенциальные геофизические поля в задачах геологии: Учеб. пособие / Новосибирский гос. ун-т. Новосибирск, 2008. 264 с. Пособие предназначено студентам-геологам разных специальностей, изучающим курс Геофизические методы...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина А.Е. Аржанникова, Т.Ю. Мингалва ПРОЕКТИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СЕТИ Учебное пособие к выполнению курсовой работы Иваново 2014 УДК 621.311 АРЖАННИКОВА А.Е., МИНГАЛЁВА Т.Ю. Проектирование электрической сети: Учеб. пособие / ФГБОУВПО Ивановский государственный энергетический...»

«Отчет о научной деятельности института за 2013 год Структура и научный потенциал института В течение 2013 года с целью усовершенствования деятельности института по выполнению основных задач, определенных Уставом, была введена новая структура УНИИАДД, утвержденная Председателем Укргосархива 1 июля 2013. Согласно новой структуре на 01.01.2014 в составе института функционирует 4 научные подразделения: отдел архивоведения, отдел технологического обеспечения архивного дела с сектором разработки...»

«ИННОВАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ИННОВАЦИОННАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ УЧИТЕЛЯ ПРИ РАЗРАБОТКЕ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ В УСЛОВИЯХ ФГОС INNOVATIVE ACTIVITY OF A TEACHER IN WORKING OUT A WORK PROGRAM IN THE CONDITIONS OF FEDERAL STATE EDUCATIONAL STANDARDS Титова Н.С. Titova N.S. Учитель английского языка МБОУ СОШ № 9, English language teacher at general secondary г. Абакан, Республика Хакасия school №9, Abakan, Republic of Khakasia. E-mail: vtitov12@rambler.ru E-mail: vtitov12@rambler.ru Аннотация. Автор представляет...»

«ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ А.А. Титов ТЕХНИЧЕСКИЕ СРЕДСТВА ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ Учебное пособие Томск – 2010 2 Федеральное агентство по образованию ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Кафедра радиоэлектроники и защиты информации (РЗИ) УТВЕРЖДАЮ Заведующий кафедрой РЗИ доктор технических наук, профессор _ А.С. Задорин _2010 г. ТЕХНИЧЕСКИЕ СРЕДСТВА ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ Учебное пособие для студентов специальностей...»

«Пояснительная записка Данная рабочая программа составлена на основе примерной программы основного общего образования по истории МО РФ 2004 г. и следующих авторских программ : Программы 1 В. И. Уколова, А. В. Ревякин, М. Л. Несмелова. Программа по всеобщей истории. С древнейших времен до конца ХIХ в. — М.: Просвещение, 2006 г. 2. История России с древнейших времен до конца XIX в авторы: Сахаров А.Н., Боханов А.Н., Козленко С.И. М. Русское слово.2009 г. Учебники 1. История Всеобщая. Новейшая...»

«Пояснительная записка. Рабочая программа по элективному курсу Генетические задачи составлена на основе программы Биология, элективные курсы 10-11 классы В.В. Пасечник. Москва. Дрофа 2006г Разделы Генетика и Молекулярная биология являются одним из самых сложных для понимания в школьном курсе общей биологии. Облегчению усвоения этих разделов может способствовать решение задач по генетике разных уровней сложности. Решение задач, как учебно-методический приём изучения генетики, имеет важное...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ивановская государственная текстильная академия (ИГТА) Кафедра проектирования текстильных изделий ПРОЕКТИРОВАНИЕ ОДНОСЛОЙНЫХ РЕМИЗНЫХ ТКАНЕЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ МЕТОДОМ Методические указания по выполнению курсовой работы для студентов 4 курса специальности 280400 (260703) Проектирование текстильных изделий специализации 280401 Проектирование...»

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ Кафедра Двигатели летательных аппаратов Шулекин В.Т., Тихонов Н.Д. ПОСОБИЕ по расчёту высотно-скоростных характеристик турбореактивных и турбовальных двигателей по дисциплине Теория авиационных двигателей (курсовая работа, часть 2, для студентов специальности 130300 всех форм обучения) Москва – 2002 Учебно-методическое пособие по расчёту высотно-скоростных характеристик турбореактивных и турбовальных двигателей воздушных...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОСТОЧНО-СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Ц.Ц. Доржиев Разработка и методические рекомендации по применению автоматизированной обучающей системы (АОС) по начертательной геометрии в учебном процессе Учебное пособие Издательство ВСГТУ Улан-Удэ, 2004 УДК004(075.8) ББК32.973-018.2я7 Д687 Рецензенты: к.т.н., доц. А.А. Габагуев, к.п.н., доц. Л.Н. Юмсунова Доржиев Ц.Ц. Разработка и методические рекомендации по применению...»

«Утверждаю Председатель Высшего Экспертного совета В.Д. Шадриков 26 ноября 2013 г. ОТЧЕТ О РЕЗУЛЬТАТАХ НЕЗАВИСИМОЙ ОЦЕНКИ ОСНОВНОЙ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ ПОДГОТОВКИ СПЕЦИАЛИСТОВ СРЕДНЕГО ЗВЕНА 111801 Ветеринария ГБОУ СПО ЯНАО Ямальский полярный агроэкономический техникум Разработано: Менеджер проекта: А.Л. Дрондин Эксперт АККОРК: И.Р. Смирнова. Москва – Оглавление I. ОБЩАЯ ИНФОРМАЦИЯ О ПРОФЕССИОНАЛЬНОМ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОМ УЧРЕЖДЕНИИ II. ОТЧЕТ О РЕЗУЛЬТАТАХ НЕЗАВИСИМОЙ ОЦЕНКИ...»

«ФЕДЕРАЛЬНАЯ АВИАЦИОННАЯ СЛУЖБА РФ ДЕПАРТАМЕНТ ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ Б.А.Чичков РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ ДИСКОВ ТУРБОМАШИН (С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ) Методическое пособие по дисциплине Конструкция и прочность авиационных двигателей, для НИРС и дипломного проектирования для студентов специальности 160901 всех форм обучения 5 ДЕПАРТАМЕНТ ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ...»

«Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования Полоцкий государственный университет В. Ф. Коренский ТЕОРИЯ МЕХАНИЗМОВ, МАШИН И МАНИПУЛЯТОРОВ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС для студентов специальностей 1-36 01 01, 1-36 01 03 В двух частях Часть 1 ОРГАНИЗАЦИОННЫЕ ОСНОВЫ КУРСОВОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ МАШИН Новополоцк ПГУ 2008 УДК 621-01(075.8) ББК 34.41я73 К66 Рекомендовано к изданию советом машиностроительного факультета в качестве учебно-методического комплекса...»

«Раздел II. Общая теория государства Глава 2. Сущность государства Международный консорциум Электронный университет Московский государственный университет экономики, статистики и информатики Евразийский открытый институт Н.М. Чепурнова, А.В. Серёгин Теория государства и права Учебное пособие Москва, 2008 1 Оглавление УДК 34 ББК 66.0 Ч 446 Чепурнова Н.М., Серёгин А.В. ТЕОРИЯ ГОСУДАРСТВА И ПРАВА: Учебное пособие. – М.: ЕАОИ, 2007. – 465 с. ISBN 978-5-374-00097-9 © Чепурнова Н.М., Серёгин А.В. ©...»










 
2014 www.av.disus.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.