WWW.DISUS.RU

БЕСПЛАТНАЯ НАУЧНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Авторефераты, диссертации, методички

 

Pages:     || 2 |

«Гуцанович, С. А. Г93 Математика. 5 класс. Тропинками математики : пособие для учащихся учреждений общ. сред. образования с белорус. и рус. яз. обучения / С. А. Гуцанович, Н. В. Костюкович. — 2-е изд. — Минск : Аверсэв, ...»

-- [ Страница 1 ] --

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by

УДК 51(075.3=161.3=161.1)

ББК 22.1я721

Г93

Серия основана в 2010 году

Гуцанович, С. А.

Г93 Математика. 5 класс. Тропинками математики : пособие

для учащихся учреждений общ. сред. образования с белорус.

и рус. яз. обучения / С. А. Гуцанович, Н. В. Костюкович. —

2-е изд. — Минск : Аверсэв, 2012. — 128 с. : ил. — (Факультативные занятия).

ISBN 978 985 533 116 3.

Пособие составлено в соответствии с учебной программой факультативного курса. Содержит интересные факты и занимательные задачи, а также знакомит учеников с приемами устных и письменных вычислений.

Предназначено учащимся 5 классов для использования на факультативных занятиях по математике.

УДК 51(075.3=161.3=161.1) ББК 22.1я Учебное издание

ФАКУЛЬТАТИВНЫЕ ЗАНЯТИЯ

Гуцанович Сергей Аркадьевич Костюкович Наталья Владимировна МАТЕМАТИКА. 5 КЛАСС Тропинками математики Пособие для учащихся учреждений общего среднего образования с белорусским и русским языками обучения 2-е издание Ответственный за выпуск Д. Л. Дембовский Подписано в печать 13.09.2012. Формат 6084 1/16. Бумага офсетная.

Печать офсетная. Усл. печ. л. 7,44. Уч. изд. л. 4,27. Доп. тираж 1500 экз. Заказ Общество с дополнительной ответственностью «Аверсэв».

ЛИ № 02330/0003944 от 03.02.2009. Ул. Н. Олешева, 1, офис 309, 220090, Минск.

E mail: info@aversev.by; www.aversev.by Контактные телефоны: (017) 268 09 79, 268-08-78.

Для писем: а/я 3, 220090, Минск.

УПП «Витебская областная типография».

ЛП № 02330/0494165 от 03.04.2009.

Ул. Щербакова Набережная, 4, 210015, Витебск.

ISBN 978 985 533 116 3 © НМУ «Национальный институт образования», © Оформление. ОДО «Аверсэв», © НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by От авторов Дорогие пятиклассники!

Вам предстоит отправиться с нашими героями в путе шествие по различным тропинкам математики. На уро ках у вас нет возможности более глубоко и всесторонне рассмотреть изучаемый программный материал, кото рый основывается на многочисленных исторических сведениях по математике. Поэтому на факультативных занятиях в процессе работы над предлагаемыми дидак тическими материалами вы сможете узнать интересные факты, ознакомиться с занимательными задачами, отве тить на вопросы, выполнить отдельные задания.

На каждой из восьми тропинок вам предстоит сделать несколько остановок. На остановках вместе с нашими героями одноклассниками Катей Книжкиной, Васей За дачкиным и Петей Вопросовым вы будете рассматри вать очередную тему. Катя Книжкина любит читать за нимательную литературу по математике. Она по каждой теме факультативного курса подобрала для вас интерес ный исторический материал. Петя Вопросов любит задавать вопросы. С их помощью вы лучше усвоите ма териал по теме. А Вася Задачкин очень любит решать за дачи, он вместе с авторами придумал для вас многие ин тересные задачи по темам, а отдельные из них подобрал из книг по занимательной математике, список которых прилагается в методическом пособии.

На факультативных занятиях вспоминайте изученный на уроках математики материал, используйте знания, приобретенные ранее. Занимательная форма подачи © НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by материала пособия облегчит процесс его усвоения, по зволит использовать полученные сведения при дальней шем обучении. В отдельных случаях вы можете согла шаться с мнением героев, а в других — отстаивать свою точку зрения. При работе с пособием внимательно озна комьтесь с дополнительной информаций, предлагаемыми вопросами, выполненными заданиями. Многие задачи будут успешно решены, если вы сделаете схематические рисунки, заполните таблицы.

Поскольку вы увлекаетесь математикой, то для ус пешного изучения предмета и побед на математических конкурсах и олимпиадах вам необходимо ознакомиться с рекомендуемой литературой. Посещение библиоте ки и чтение книг по математике, на которые авторы де лают ссылки, помогут при решении задач. Помните, что хорошие знания по математике пригодятся вам при изу чении других учебных предметов, будут способствовать принятию верных решений в различных жизненных си туациях.

Успехов вам в изучении материала факультативных занятий «Тропинками математики»!

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by Тема 1 и цифр Занятия 1—3. Цифры и числа. Запись цифр у разных народов. Числа великаны. Натуральные числа. Неко торые виды натуральных чисел и их свойства. Построе ние математиками фигурных чисел.

К а т я К н и ж к и н а: «Сегодня мы тропинкой от правляемся в удивительный мир чисел и цифр. Для каж дого из нас не составляет труда записать любое много значное число, даже если в нем будет очень большое чис ло знаков. Мы записываем любое число с помощью только десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Цифры — это символы, условные знаки для обозначения чисел. Они позволяют записывать различные числа. Сейчас практи чески все люди на нашей планете используют для запи си чисел эти десять цифр. Цифры были изобретены не сразу. Чтобы мы могли пользоваться этой удобной фор мой записи чисел, человечеству понадобились многие столетия. Предполагают, что первые изображения пред шественников наших цифр возникли раньше введения письменности. Первоначально числа изображались с по мощью зарубок на деревянных бирках или костях, а позднее — с помощью черточек. Но большие числа изо бражать таким способом неудобно, поэтому стали при менять особые знаки и символы.

В Древнем Египте около 5 тыс. лет назад число 10 обо значали иероглифом I (символ дуги, которую ставили над десятком черточек), число 100 — знаком (символ измерительной веревки) и т. д. Из таких «цифр» состав ляли десятичную запись любого числа, например число © НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by 124 обозначали так: ¦¦, причем читалось число справа налево.

Народы, жившие в Междуречье Тигра и Ефрата в пе риод от II тыс. до нач. н. э., сначала обозначали числа с помощью кругов и полукругов различной величины, а затем стали использовать только два клинописных знака — прямой клин $ (1) и лежачий клин & (10). На пример, число 23 изображали так: &&$$$. Число снова обозначалось знаком прямой клин ($), а, напри мер, число 92 записывали так: $&&&$$ (60 + 30 + 2).

В начале нашей эры индейцы племени майя, жившие на полуострове Юкатан в Центральной Америке, поль зовались обозначениями: 1 — точка, 5 — горизонтальная черта, например 14 записывалось так: ····=. В системе счисления майя был знак для нуля, который напоминал полузакрытый глаз.

За несколько столетий до новой эры некоторые наро ды (древние греки, славяне и другие) начали записывать числа с помощью букв алфавита.

В Древней Греции числа 5, 10, 100, 1000, 10 000 обо значали буквами G, D, H, C, M, а число 1 — черточкой.

Чтобы отличить цифры от букв, над буквами также ста вили черточку».

П е т я В о п р о с о в: «Какие еще народы использова ли для обозначения чисел буквы?»

К а т я К н и ж к и н а: «Подобная система обозначения чисел применялась и в Древней Руси, культура которой была тесно связана с культурой Византии. Рассмотрим подробнее славянские цифры. Славянский алфавит был создан монахами Кириллом и Мефодием. В славянской системе нумерации буквы алфавита являлись одновре © НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by менно и числовыми знаками. Каждая буква обозначала одно и то же число независимо от ее местоположения.

Славянская нумерация использовала 27 букв. Первые 9 букв обозначали числа от 1 до 9, следующие 9 букв обозначали десятки, а последние 9 букв — сотни. Над буквами, обозначавшими числа, ставили специальный знак — титло. Например, число 1 обозначалось A, 1000 — A, число 10 000 обозначали A без титла, но обводили кружком. Называлось это число «тьма».

Такой алфавитной нумерацией пользовались до XVII в.

Она позволяла записывать очень большие числа и вы полнять действия столбиком, как это делаем мы теперь.

Из Древнего Рима дошли до нашего времени следую щие числовые знаки:

I V X L С D М

Одни ученые полагают, что V обозначает раскрытую ладонь, а X — две ладони или скрещенные руки, другие ученые считают, что знак X ведет свое происхождение от двух линий, которыми перечеркивали десяток черточек, а V означает половину от X. О происхождении знаков для ста и тысячи ученые строят лишь догадки. Буквы C и M, возможно, являются просто начальными буквами слов centum и mille, что в латыни означает «сто» и «тыся ча» [18, 44].

Сейчас я покажу, как записывали различные числа древние римляне. Например, запись X означает число 10, запись XXX — число 30. При записи чисел в этой систе ме используют принципы сложения и вычитания.

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by Если числовой знак с меньшим значением стоит по сле знака с бльшим значением, то их значения склады ваются. Например, запись XXI означает число 21, запись LXI — число 61.

Если числовой знак с меньшим значением стоит пе ред знаком с бльшим значением, то из большего значе ния вычитается меньшее. Например, запись XIX означа ет число 19, запись CMXCVIII — число 998.

Римская нумерация удобна для записи чисел, но не приспособлена для вычислений. Никакие действия в письменном виде с римскими цифрами произвести не возможно, и это является ее большим недостатком.

От римлян эта нумерация пришла в Европу и многие азиатские страны и применялась в официальных бума гах вплоть до XVIII в.

Римская нумерация сохранилась до настоящего вре мени. Ею пользуются для нумерации веков, олимпий ских игр, обозначения чисел на циферблате часов, при обозначении глав в книгах и т. д.

В Китае и Японии, как и в Египте, для записи чисел применяли иероглифы».

П е т я В о п р о с о в: «Катя, расскажи нам о современ ных цифрах».

К а т я К н и ж к и н а: «Для объяснения нынешней формы цифр существует много теорий, которые связы вают форму с числом точек, палочек, углов в цифре, но это только догадки. Наши цифры 0, 1, 2, …, 9 называются арабскими, но арабы только завезли эти цифры в Европу из Индии, поэтому правильнее было бы назвать их ин дийскими. Прообразы современных цифр возникли примерно 1500 лет назад и в течение многих столетий, © НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by переходя от народа к народу, много раз изменялись, и в арабских странах индийские цифры приняли форму, близкую к современной. В VIII в. н. э. арабы вторглись в Европу. Новая индийская нумерация была завезена в Х—ХII вв., но лишь к началу ХIХ в. ее стали применять повсеместно. Европейцы переняли у арабов искусство счета, при этом сами цифры со временем немного изме нились.

Интересно, что начиная со II в. н. э. греческие астроно мы, познакомившись с системой записи чисел вавилонян, стали употреблять символ «0» для обозначения пропу щенного разряда. Этот знак стал прообразом нынеш него нуля. Индийцы познакомились с греческой астро номией, нумерацией и нулем между II и IV вв. н. э. Они соединили эти результаты со своей десятичной нумераци ей, и это было завершающим шагом в создании нынеш ней нумерации.

Слово «цифра» происходит от арабского «сыфр», так в VIII в. перевели с индусского слово «шунья», что озна чало «пустое», т. е. отсутствие разряда. Поэтому до VIII в.

нуль, которым мы пользуемся сейчас, называли «циф рой», а в английском языке это слово и в настоящее вре мя означает «нуль». Нынешнее название «нуль» проис ходит от латинского слова figyra, т. е. «никакая цифра».

Числа, при записи которых используется только одна цифра, называются однозначными. Если при записи чис ла используются две цифры (различные или одинаковые), то число является двузначным, если три цифры — трех значным и т. д., эти числа называются многозначными».

П е т я В о п р о с о в: «Катя, почему система счисле ния, которой мы пользуемся, называется десятеричной позиционной системой счисления?»

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by К а т я К н и ж к и н а: «Основу нашей системы счис ления составляет число 10. Это значит, что десять еди ниц образуют один десяток, десять десятков — одну сотню и т. д., таким образом, десять единиц младшего разряда образуют одну единицу старшего разряда. При записи чисел крайней справа записывается цифра в разряде единиц, затем цифра в разряде десятков и цифра в раз ряде сотен, таким образом, мы получаем класс единиц.

Следующий класс, состоящий из трех разрядов, — класс тысяч, затем — класс миллионов и т. д. Если единицы какого то разряда отсутствуют, то в этом разряде запи сывается 0. Например, в числе 45 608 071 (сорок пять миллионов шестьсот восемь тысяч семьдесят один) от сутствуют единицы в разрядах десятков тысяч и сотен.

Кроме десятеричной системы счисления, есть и другие, например двоичная система счисления, в которой ис пользуются только две цифры 0 и 1. Эта система приме няется в вычислительной технике. Следует отметить, что запись чисел в двоичной системе счисления достаточно громоздка».

П е т я В о п р о с о в: «Катя, что ты знаешь о числах великанах?»

К а т я К н и ж к и н а: «Еще в древности математики записывали очень большие числа и придумывали назва ния для них. Мы уже используем при записи чисел клас сы единиц, сотен и миллионов, а как называется следую щий класс? Запишем число, в котором семь разрядов, например 1 000 000 — один миллион. Термин «миллион»

впервые появился в Италии, первое упоминание дати руется 1250 г. Допишем справа еще три нуля, получим © НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by один миллиард. Слово «миллиард» впервые упомина лось в 1558 г. и использовалось для обозначения числа, в котором за единицей записывалось двенадцать нулей.

Сейчас это 1 000 000 000. Дописывая справа по три нуля, мы каждый раз будем получать в числе еще один класс.

В разных странах до сих пор одни и те же названия ис пользуют для различных по количеству классов чисел, т. е. не существует еще единой системы названий для боль ших чисел. Например, в Америке и Франции тысяча мил лионов (1 000 000 000) — это биллион, или миллиард.

В Германии и Англии биллион — это миллион миллио нов, т. е. 1 с последующими двенадцатью нулями. Про должая дописывать по три нуля, математики получали все новые большие числа: квадриллион (1 с пятнадца тью нулями), квинтиллион (1 с восемнадцатью нулями), секстиллион (1 с двадцатью одним нулем), септиллион (1 с двадцатью четырьмя нулями), октиллион (1 с два дцатью семью нулями)… Есть название даже для числа, в котором после единицы записано сто нулей, — это гу гол. Человечество продолжает увеличивать разрядность чисел и придумывать им новые названия. Для числа, в котором после единицы записано триста три нуля, тоже есть название — это центиллион.

Со временем люди научились не только называть и обо значать числа, но и выполнять с ними арифметические действия».

П е т я В о п р о с о в: «Катя, какие числа называются натуральными?»

К а т я К н и ж к и н а: «Числа, которые используются при счете, называются натуральными числами. Если эти © НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by числа записывать по порядку: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …, то получим натуральный ряд чисел.

Натуральные числа — самые древние на Земле. Они появились тогда, когда людям понадобилось сосчитать созданную природой действительность и плоды своего труда, например овец, коз, шкуры животных, плоды и дру гие предметы и объекты.

Единица — это первое и самое маленькое число нату рального ряда, а также одна из цифр в десятичной систе ме счисления.

Считается, что обозначение единицы любого разряда одним и тем же знаком (довольно близким к современ ному знаку 1) появилось впервые в Древнем Вавилоне приблизительно за 2 тыс. лет до н. э.

Древние греки, считавшие числами лишь натураль ные числа, рассматривали каждое из них как набор еди ниц. Самой же единице отводилось особое место: она числом не считалась.

Таким образом, уже в те давние времена единица за нимала свое особое место среди других чисел.

С единицей связаны следующие соотношения, кото рые выполняются для любого натурального числа а:

В ряду натуральных чисел за единицей следует двой ка, затем тройка и т. д. Мы видим, что каждое следующее число на единицу больше предыдущего. В ряду нату ральных чисел нет наибольшего числа. Это значит, что какое бы большое натуральное число мы не написали, всегда можно написать следующее за ним. Например, если n — какое то натуральное число, то следующее за ним натуральное число будет n + 1.

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by Вначале люди пользовались небольшим количеством натуральных чисел, постепенно их число увеличива лось. Долгое время считалось, что в натуральном ряду содержится конечное количество чисел.

Великий ученый Древней Греции Архимед показал в своей книге «Псаммит» (исчисление песчинок), что натуральный ряд чисел не имеет конечного числа, сле довательно, его можно постоянно продолжать. В процес се своего развития человечество пришло к пониманию того, что натуральный ряд не имеет конечного числа и, называя или записывая какое то очень большое число и добавляя единицу, мы получаем число, следующее за ним в натуральном ряду.

В Древней Руси последним числом натурального ряда некоторое время было число 10 000, которое называлось «тьма», затем 1 000 000 000 000 — «тьма тем».

Наряду с развитием представлений о числе, возника ли и различные суеверия, связанные с числами. Так, в глубокой древности числу 7 приписывались магиче ские и священные свойства. В Древнем Вавилоне семер ка считалась священным числом, затем это почитание перешло к другим народам. До наших дней дошли неко торые поговорки и высказывания, связанные с числом 7:

«Семь раз отмерь, один раз отрежь», «Один с сошкой, а семеро с ложкой», «Семь пятниц на неделе», «Семь бед, один ответ», «Семеро одного не ждут»… В Библии указывается, что бог создал мир за шесть дней, а седьмой день — для отдыха. У древних греков признавалось семь чудес света и семь мудрецов, у рим © НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by лян считалось, что Рим построен на семи холмах, в России семерка использовалась в знахарстве и за клинаниях.

Число 13 у многих народов является символом не приятностей и несчастий. Это связано с тем, что у пред шествующего ему в натуральном ряду числа 12 много делителей (1, 2, 3, 4, 6, 12), и поэтому оно было очень удобным: это число месяцев в году и единиц в дюжине, а в Древнем Вавилоне — основание системы счисления.

Следующее за ним в натуральном ряду число 13 имеет только два делителя (1, 13), следовательно, является простым, поэтому числу 12 приписывалось все только положительное, а числу 13 — только несчастья. Так, в Библии указывается о 12 апостолах, а из 13 учеников Христа последний оказался предателем. Во многих госу дарствах отсутствуют дома, квартиры, гостиничные но мера под номером 13, не существуют маршруты общест венного транспорта с этим номером. Некоторые люди в результате случайных совпадений становятся суевер ными в отношении числа 13, но существует много случа ев, когда это число приносило удачу».

1. Сколько различных цифр мы используем для написа ния чисел?

2. Какие числа называются однозначными? Приведите примеры. Назовите самое большое однозначное число.

3. Сколько всего существует однозначных чисел?

4. Сколько понадобится цифр, чтобы записать все одно значные числа?

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by 5. Какие числа называются многозначными? Приведите примеры многозначных чисел.

6. Сколько всего существует двузначных чисел и сколько трехзначных?

7. Сколько понадобится цифр, чтобы записать все дву значные числа?

8. Какая цифра в ряду натуральных чисел стоит на 9 м месте; на 17 м месте; на 25 м месте?

9. Назовите последнюю цифру произведения:

10. Сколько понадобится цифр для нумерации 40 страниц книги, начиная с первой?

11. Что больше: сумма всех цифр или их произведение?

12. Сколькими нулями оканчивается произведение всех натуральных чисел от 1 до 10?

13. Назовите четыре последние цифры в произведении двадцати первых чисел натурального ряда.

14. Сумма каких двух натуральных чисел равна их произ ведению?

15. В каких странах для записи чисел использовали иерог лифы?

16. В каких странах для записи чисел использовали ал фавит? Как древние славяне при записи различали буквы и цифры?

17. Какая древняя нумерация, отличная от арабской, ис пользуется и в настоящее время?

18. Почему цифры, которыми мы пользуемся, называются арабскими?

19. Можно ли назвать самое большое натуральное число?

20. Сколько разрядов в числе триллион? Назовите классы этого числа.

21. Какие пословицы и поговорки, в которых упоминают ся числа, вы знаете?

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by 1. Найдите сумму наименьшего двузначного числа и наибольшего.

2. На сколько наименьшее двузначное число меньше наименьшего трехзначного?

3. Используя цифры по одному разу, составьте наи большее пятизначное число.

4. Используя цифры по одному разу, составьте наи меньшее шестизначное число.

5. Назовите классы и разряды в числе 659 834 792.

Сколько единиц каждого разряда в этом числе?

6. Не переставляя цифры 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, а только вписывая, где считаете нужным, знаки действий и скоб ки, получите в результате число 50.

7. Не переставляя цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а только вписывая, где считаете нужным, знаки действий и скоб ки, получите в результате число 80.

8. Не переставляя цифры 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, а только вписывая, где считаете нужным, знаки действий и скоб ки, получите в результате число 100.

9. С помощью пяти цифр 2, используя знаки действий и скобки, напишите число 26.

10. С помощью пяти цифр 3, используя знаки дейст вий и скобки, напишите число 39.

11. Продолжите ряд натуральных чисел: n + 7, n + 9, ….

12. Какое число натурального ряда предшествует чис лу n + 4?

13. Какое натуральное число следует за числом n + 6, но предшествует числу n + 8?

14. Где нужно поставить знаки «+» в записи 1 2 3 4 5 6 7, чтобы получить сумму, равную 100?

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by Тема 2 «Арифметика»

Занятия 1—3. Как возникла арифметика? Происхож дение арифметических действий. Из истории возник новения нуля. Почему на нуль делить нельзя? Интерес ные арифметические упражнения.

К а т я К н и ж к и н а: «Сегодня мы отправляемся в страну «Арифметика», и я в различных занимательных книгах по математике нашла для вас много интересного материала об этой стране. Слово «арифметика» проис ходит от греческого arithmos, что означает «число».

Арифметика — часть математики. Это наука о числах и действиях над ними, она изучает различные правила арифметических действий, учит решать задачи, сводя щиеся к сложению, вычитанию, умножению и делению.

С помощью натуральных чисел, которые изучаются в курсе арифметики, конструируются многие математи ческие понятия. Арифметику считают очень полезной и удобной «азбукой счета». Производить арифметиче ские действия быстро и безошибочно считалось боль шим искусством и являлось основной задачей арифме тики.

Арифметика возникла в глубокой древности из прак тических потребностей счета предметов и простейших измерений земельных участков, ведения счета времени и других нужд. Арифметика постоянно развивалась в связи с хозяйственной деятельностью, различными де нежными расчетами, решением задач, связанных с изме рениями расстояний, времени, площадей, и благодаря требованиям, которые предъявляли к ней другие науки.

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by Предполагается, что арифметика возникла в странах Древнего Востока — Вавилоне, Китае, Индии и Египте.

Источником первых достоверных сведений о состоянии арифметических знаний в эпоху древних цивилизаций являются письменные документы Древнего Египта (ма тематические папирусы), написанные приблизительно за 2 тыс. лет до н. э. Это — сборники задач с указаниями их решений, правил действий над целыми числами и дро бями со вспомогательными таблицами без каких бы то ни было пояснений теоретического характера.

В Древнем Вавилоне во III—II тыс. до н. э. также был довольно высокий уровень арифметической культуры, о чем позволяют судить клинописные математические тексты. Письменная нумерация в них представляет со бой своеобразное соединение десятичной системы счис ления с шестидесятеричной, с разрядными единицами 60, 602 и т. д. Техника выполнения арифметических действий у вавилонян осложнялась необходимостью прибегать к обширным таблицам умножения (для чисел от 1 до 59). В сохранившихся клинописных материалах, представлявших собой, по видимому, учебные пособия, находятся некоторые таблицы, применявшиеся при де лении и умножении.

Накопленные в странах Древнего Востока сокровища арифметических знаний продолжили свое развитие в Древней Греции. У древних греков практическая сто рона арифметики не получила дальнейшего развития;

применявшаяся ими система письменной нумерации с помощью букв алфавита была менее приспособлена для выполнения сложных вычислений, чем вавилонская.

Древнегреческие математики положили начало теорети ческой разработке арифметики. До нашего времени до © НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by шло много имен древнегреческих математиков. К ним относятся: Анаксагор, Фалес, Зенон, Евклид, Архимед, Эратосфен, Диофант, Аполлоний».

П е т я В о п р о с о в: «Катя, что ты знаешь о древне греческих математиках? Расскажи ребятам о них под робнее».

К а т я К н и ж к и н а: «Мне удалось найти немногое.

Сейчас я вас с этим познакомлю.

Анаксагор (500—428 гг. до н. э.) — известный древне греческий математик. Он занимался математикой и ас трономией, а также преподавал философию в Афинах.

Одним из вопросов, который вызывал много споров, был вопрос о делимости. Анаксагор утверждал, что сре ди малых величин нет самой маленькой. Уменьшение идет непрерывно, так как то, что существует, не может перестать существовать, следовательно, делить можно до бесконечности, при этом любая полученная часть бу дет больше нуля».

П е т я В о п р о с о в: «Можно ли это показать на при мере?»

К а т я К н и ж к и н а: «Сказанное можно показать на примере деления отрезка пополам. Делим отрезок AB, длина которого равна 80 см, пополам.

AB = 80 см, AC = 40 см, AP = 20 см, AK = 10 см, AM = 5 см, AN = 2 см 5 мм и т. д., причем какой бы маленький отре зок мы ни получали, всегда можно указать длину, в два © НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by раза меньшую, и т. д. И каждый из вновь полученных от резков будет иметь длину, большую нуля».

П е т я В о п р о с о в: «Катя, ты можешь рассказать что нибудь о Фалесе и Пифагоре?»

К а т я К н и ж к и н а: «Фалес (624—547 гг. до н. э.) — древнегреческий купец, философ и математик. Древне греческие купцы, приезжавшие в Египет, знакомились с математическими знаниями, которыми обладали жре цы, и впоследствии использовали их. Среди таких купцов был Фалес. Ему удалось просто решить задачу, которую не могли решить жрецы Египта. Это задача о высоте пи рамиды. Им также было предсказано солнечное затмение (28 мая 585 г. до н. э.). В городе Милете Фалес создал фи лософскую школу, которая сыграла большую роль в раз витии математики. Принесенные из Египта сведения были в первое время достоянием только его школы. Счи тается, что основное определение арифметики — число есть совокупность единиц — принадлежит этой школе.

Пифагор (около 570 — около 500 гг. до н. э.) — родил ся на острове Самос. Его личность овеяна легендами. Он много путешествовал, около 22 лет пробыл в Египте, по этому был хорошо знаком с развитием математики в этой стране. Пифагором была создана школа, в которой уче ников учили правильно рассуждать. Ему приписывается высказывание: «Все есть число».

Пифагорейцы считали, что число — это основа бытия и причина стройности порядка, они верили, что в число вых закономерностях спрятана тайна мира. Вообще пи фагорейцы достигли значительных успехов в теории чи сел. Придавая им большое значение, они считали, что через них можно выразить все закономерности в мире.

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by Сами числа они наделяли различными свойствами, на пример 5 символизировало цвет, 6 — холод, 7 — разум, здоровье, 8 — любовь и т. д. Ими было положено начало «теории чисел». Они изучали свойства чисел, которые разбивались ими на классы (группы): четные, нечетные, простые, составные, совершенные, дружественные, тре угольные, квадратные, пятиугольные и т. д.

Особое значение пифагорейцы приписывали числам 7 и 36. Число 36, с одной стороны, — сумма кубов первых трех натуральных чисел (13 + 23 + 33 = 36)*, а с другой — это сумма первых четырех четных и первых четырех не четных чисел: (2 + 4 + 6 + 8 + 1 + 3 + 5 + 7 = 36).

К математическим наукам Пифагор и его ученики от носили и музыку, установив, что высота звучания стру ны зависит от ее длины, т. е. числа. Именно они создали первую математическую теорию музыки.

Что касается теоремы Пифагора (одна из самых извест ных и используемых теорем, ее вы будете изучать на уро ках геометрии), которую пифагорейцы приписывают сво ему учителю, то ею пользовались еще в Древнем Вавилоне до создания пифагорейской школы, но, возможно, первое ее доказательство действительно получено в этой школе.

В 332—331 гг. до н. э. на берегу Средиземного моря в дельте Нила в городе Александрия (столице государства Птолемеев) были созданы: библиотека на 700 тысяч свит ков, музей, лаборатория, обсерватория, зоологический и ботанический сады и много других культурных учреж дений. Александрия стала преемницей Афин и Древней Греции в дальнейшем развитии математических знаний.

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by В это время в Александрии было много великих матема тиков. Возглавлять математическую школу Александ рии был приглашен Евклид».

В а с я З а д а ч к и н: «А о Евклиде и Архимеде я могу рассказать.

Евклид (III в. до н. э.) — древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трак татов по математике. Евклид свел в единое целое результа ты многих греческих математиков. Его знаменитое произ ведение «Начала» состояло из 13 книг. В истории западно го мира «Начала», после Библии, — наибольшее число раз изданная и более всего изучавшаяся книга. Свое сочине ние Евклид начал с определений таких терминов, как «прямая», «угол» и «окружность», потом он сформулиро вал 10 самоочевидных истин (аксиом), таких, например, как «целое больше любой из частей». В «Началах» Евкли да имеются утверждения о бесконечности числа простых чисел, основные утверждения о делимости, правила для нахождения общей меры двух отрезков и наибольшего об щего делителя двух чисел (алгоритм Евклида, который в этом году мы будем рассматривать).

Архимед (287—212 гг. до н. э.) — крупный математик и механик. После обучения в Александрийской школе он вернулся в Сиракузы и был советником царя Гиеро на. Им были созданы машины и приборы для обороны государства. Это были машины, которые бросали снаря ды, метали стрелы, разбрасывали тяжести, «лапы», кото рые поднимали нос вражеских кораблей. Благодаря ин женерному гению город долгое время оборонялся. Город Сиракузы пал только вследствие измены. Легенда пове ствует, что, когда враги ворвались в город, Архимед си © НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by дел в глубоком раздумье над чертежами и был заколот римскими солдатами. Тексты многих сочинений Архи меда сохранились до наших дней, а благодаря работе «Псаммит» («Исчисление песчинок») появилась воз можность выражать большие числа.

Архимед построил систему счисления, которая ясно показала, что чисел бесконечно много, и позволила на звать каждое число, как бы велико оно ни было. Когда о каких то предметах хотят сказать, что их так много, что и пересчитать нельзя, то часто говорят: «бесчисленны, как песок морской». Архимед показал, что можно ука зать числа, которые значительно больше числа песчинок на Земле, и если бы вся доступная нам Вселенная — до самых далеких звезд — была заполнена тончайшей пылью, то и для такого количества песчинок нашлось бы число и можно было бы назвать числа еще гораздо большие.

До Архимеда счет у греков проводился до 10 000 — мириада. Он принял мириаду за новую единицу и стал вести счет мириад. Мириада мириад давала единицу высшего разряда».

К а т я К н и ж к и н а: «А мне хочется напомнить ре бятам об Эратосфене.

Эратосфен (276—194 гг. до н. э.) — получил прекрас ное образование в Афинах и был приглашен в Александ рию заведовать библиотекой. Эратосфен в своих сочи нениях указал способ выделения из натурального ряда простых чисел («решето Эратосфена», которое мы рас смотрим в теме 5), а о других древних математиках сами прочитайте в занимательной литературе».

П е т я В о п р о с о в: «А как развивалась арифметика на Руси?»

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by К а т я К н и ж к и н а: «Уровень математических зна ний на Руси в XII в. был не ниже, чем в Западной Евро пе. Однако далее, вплоть до начала XVII в. (до реформ Петра Великого), пошло математическое отставание России по сравнению с Западной Европой. Это было связано с татаро монгольским игом, отсутствием выхо дов к морю и причинами исторического порядка.

Перестройка государственной, общественной и куль турной жизни России, начатая Петром I, требовала специалистов для создания новой регулярной армии, по стройки торгового и военного флота, развития промыш ленности. Для подготовки таких кадров нужны были учебники. Автором учебника по математике был выдаю щийся педагог математик Леонтий Филиппович Маг ницкий. Назывался учебник «Арифметика, сиречь наука числительная…» и был издан в количестве 2400 экзем пляров. Магницкий создал книгу, которая на протяже нии 50 лет была основным учебником по математике почти для всех учебных заведений России. Она сыграла большую роль в распространении математических зна ний, в подготовке кадров для государственных учрежде ний страны.

«Арифметика» — одна из самых замечательных русских книг — была энциклопедией математических знаний того времени. В ней было много задач с остроумным содержа нием, занятными формулировками, интересными спосо бами решения. К некоторым задачам приводятся рисунки.

Занимательным задачам посвящен целый раздел.

В учебниках того времени можно найти множество занимательных задач. Если в русской рукописной лите ратуре XVII в. и в книгах начала и середины XVIII в. за нимательные задачи были рассеяны среди учебных за © НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by дач, то уже в конце XVIII в. этим задачам посвящаются отдельные издания [21, 33, 41].

Теперь я расскажу вам об истории возникновения нуля и знаков арифметических действий.

Первые математические знаки появились в древности у различных народов для обозначения чисел — это циф ры. О них мы подробно говорили в теме 1.

Нуль — это целое число и в то же время — это одна из цифр в десятичной системе счисления. Название «нуль»

происходит от латинского слова nullus, которое означает «никакой». В записи многозначного числа нуль исполь зуется для обозначения отсутствия единиц определен ного разряда. Основное же свойство, характеризующее нуль как число, заключается в том, что любое число при сложении с нулем не меняется.

Нуль имеет долгую и интересную историю. Еще у ва вилонян в V в. до н. э. был специальный знак &, который обозначал отсутствие разряда в записи числа, т. е. это да лекий предок нуля. Греческие математики переняли у вавилонян способ записи чисел, но вместо клинописи они использовали буквы. Для обозначения пропущен ного разряда они употребляли букву о — первую букву греческого слова «оуден», которое означало «ничто».

В V—VI вв. индийцы стали использовать обозначение нуля, которым мы пользуемся и сейчас для записи чисел в десятичной системе».

П е т я В о п р о с о в: «Катя, почему на нуль делить нельзя?»

К а т я К н и ж к и н а: «Мы знаем, что означает разде лить одно число на другое. Например, a : b — это значит © НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by найти такое число с, при умножении которого на b мы получим a. Если b = 0, a 0, то получим с 0 = 0, но a 0.

Следовательно, при делении на нуль мы не получаем ре зультат, поэтому на нуль делить нельзя».

П е т я В о п р о с о в: «Катя, а почему нуль на нуль де лить нельзя?»

К а т я К н и ж к и н а: «Пусть при делении нуля на нуль получается некоторое число. Это может быть 0, 1, 5, 100 000 и т. д. И каждое из этих чисел при умножении на нуль даст нам нуль. Поэтому получается неоднозначность:

любое число может быть результатом, а такого быть не должно. Следовательно, нуль на нуль делить нельзя».

В а с я З а д а ч к и н: «Ребята, вам нужно запомнить:

1. Когда, считается, зародилась арифметика?

2. Что изучает арифметика?

3. Назовите известных древнегреческих ученых матема тиков.

4. Кому приписывается высказывание: «Все есть число»?

5. Кто впервые показал, как выделить простые числа?

6. Кто написал первый русский учебник по математике и как он назывался?

7. Назовите основное свойство нуля, характеризующее его как число?

8. Кто впервые ввел обозначение нуля, которым мы поль зуемся до сих пор?

9. Почему на нуль делить нельзя?

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by 1. Какое целое число делится (без остатка) на любое целое число, отличное от 0?

2. Сколько имеется всего трехзначных чисел, в запись которых входит один раз цифра 5?

3. Сколько есть двузначных чисел, в записи каждого из которых встречается хотя бы раз цифра 7?

4. Сколько есть трехзначных чисел, в записи каждого из которых встречается хотя бы одна цифра 2?

5. Сколько имеется двузначных чисел, у которых:

а) среди цифр есть хоть одна пятерка; б) цифра десятков меньше цифры единиц; в) цифра десятков больше циф ры единиц?

6. Сколько четырехзначных чисел с разными цифра ми можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, в которых цифры и 4 не стоят рядом?

7. Сколько среди целых чисел от 10 до 1000 таких, что: а) в их записи встречаются ровно три одинаковые цифры; б) у которых каждая последующая цифра боль ше предыдущей; в) у которых сумма цифр равна 9?

8. Сколько среди целых чисел от 100 до 10 000 таких, в записи которых встречаются ровно 3 одинаковые цифры?

9. Сколько существует различных двузначных чисел, все цифры которых нечетные?

10. Какой цифрой оканчивается произведение всех на туральных чисел от 1 до 81?

11. Сколько нулей стоит в конце произведения всех чисел от 10 до 25?

12. Сколькими нулями заканчивается произведение © НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by 13. В стозначном числе 12345678901234567890... вычеркнули все цифры на нечетных местах. В получен ном пятидесятизначном числе снова вычеркнули все цифры на нечетных местах. Такое вычеркивание про должалось до тех пор, пока не осталась одна цифра. Ка кова она?

14. В равенстве вместо квадратиков подберите цифры так, чтобы равен ство выполнялось, даже если его перевернуть «вверх но гами».

Подсказка. Удобно использовать цифры 0, 1, 6, 8.

15. Сумма цифр двузначного числа — наибольшее из однозначных чисел, а число десятков на 2 меньше этой суммы. Какое это число?

16. Сумма двух чисел равна 51. Меньшее можно полу чить, зачеркнув в большем одну цифру. Найдите эти числа.

17. Найдите два таких числа, что их сумма втрое боль ше их разности и вдвое меньше их произведения.

18. Чтобы пронумеровать страницы некоторой книги, понадобилось 1164 цифры. Сколько в этой книге страниц?

19. В учебнике 296 страниц. Сколько цифр надо запи сать, чтобы их пронумеровать? Сколько раз будет ис пользована каждая из цифр?

20. Выразите число 1000 восемью одинаковыми циф рами и знаками действий.

21. Выразите число 24: а) тремя восьмерками; б) тремя тройками; в) тремя двойками.

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by 22. Выразите число 30: а) тремя пятерками; б) тремя шестерками; в) тремя тройками.

23. Запишите число 31, пользуясь знаками действий и:

1) пятью тройками;

2) шестью тройками;

3) пятью пятерками.

24. Запишите число 100, пользуясь знаками действий и:

1) пятью единицами;

2) пятью тройками;

3) пятью пятерками;

4) шестью одинаковыми цифрами;

5) девятью разными значащими цифрами.

25. Запишите число, являющееся суммой 13 тысяч, 12 сотен и 11 единиц.

Тема 3 мир вычислений Занятия 1—6. Интересные приемы устных и письмен ных вычислений. Особенности быстрого арифметиче ского счета. Один из старинных способов вычисления на пальцах. Сложение нескольких последовательных чисел натурального ряда. Вычисления посредством таблиц. Вспомогательные средства вычислений. Про стейшие электронные и счетные приборы, их истори ческое значение. Веселый счет.

В а с я З а д а ч к и н: «Сегодня мы с Катей и Петей бу дем рассматривать интересные вычислительные прие мы и познакомим вас с ними».

П е т я В о п р о с о в: «Мне кажется, что в наш век ши рокого применения компьютеров, различных микро © НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by калькуляторов и современных информационных техно логий в этом нет необходимости».

К а т я К н и ж к и н а: «Петя, ты не прав, во первых, не всегда под рукой может быть компьютер или микро калькулятор, а во вторых, устные вычисления помогают развитию мышления и памяти».

П е т я В о п р о с о в: «Хорошо, я согласен, и даже слышал, что существуют старинные способы вычисле ния на пальцах. Давайте с них и начнем».

К а т я К н и ж к и н а: «Считать люди научились дав но, и у каждого народа была своя манера счета. Пальце вый счет был распространен практически у всех народов.

Изучая историю возникновения счета, мы встречаем ин тересные приемы пальцевого счета. Его возникновение было вызвано необходимостью быстрого выполнения арифметических операций в практической деятельно сти людей, причем этому счету придавалась необходи мая тогда наглядность. Таким образом, простые арифме тические действия с помощью пальцев осуществлялись как бы на своего рода «счетной машине». И это были не только простые способы постепенного загибания паль цев, а оригинальные приемы.

У большинства людей правая рука более активная, поэтому счет обычно начинали с большого пальца или мизинца левой руки, дотрагиваясь правой рукой до пальцев левой руки, либо загибая пальцы левой руки, либо отгибая пальцы, ранее сжатые в кулак. Можно при вести примеры и других способов счета. Например, жи тели островов Бенгальского залива начинали счет с ми зинца, дотрагиваясь до своего носа очередным пальцем.

А на острове между Австралией и Новой Гвинеей люди © НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by считали до пяти, постукивая пальцами левой руки. За тем они переходили не на правую руку, а на левое запя стье, локоть, плечо, левую грудь и т. д. и продолжали счет, изменяя этот порядок на обратный, но уже с правой стороны тела. Математики заметили, что постукивание при счете применялось для обозначения порядковых чи сел (первый, второй и т. д.), а когда пальцы поднимались сразу, то это обозначало количественные числа».

В а с я З а д а ч к и н: «Я знаю, что римляне путем раз гибания и загибания пальцев, а также путем вытягива ния и складывания рук умели выражать числа от одного до миллиона. При этом три пальца левой руки, начиная с мизинца, служили у них в различных комбинациях для простых единиц, остальные пальцы левой руки — для десятков, большой и указательный пальцы правой руки — для сотен, а прочие — для тысяч. Чтобы выразить про стую единицу, они загибали мизинец, чтобы выразить двойку — 4 й и 5 й пальцы. Число 90 обозначалось ука зательным пальцем, пригнутым к ладони. Для обозначе ния десятков тысяч они клали левую руку на грудь, бедро, для сотен тысяч пользовались таким же образом правой рукой. Складывание рук крест накрест соответ ствовало миллиону. Римляне не только могли выражать на пальцах большие числа, но и умели производить при помощи пальцев некоторые действия. Пальцевый счет был распространен также в Греции и на Востоке, в сред невековой Европе и в других странах. И сейчас еще не которые народы быстро и искусно проделывают на пальцах умножение чисел первого десятка».

В а с я З а д а ч к и н: «Рассмотрим некоторые приме ры выполнения действий при помощи пальцев.

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by Умножение на 9.

Кладем перед собой ладони обеих рук. Для того чтобы получить результат умножения 9 на 6, загнем 6 й палец, считая слева, — это большой палец правой руки. Слева от загнутого пальца — 5 пальцев, справа — 4, получим 54.

Умножим 9 на 3. Загибаем 3 й палец слева. Слева от него — 2 пальца и справа — 7, получим 27 и т. д.».

П е т я В о п р о с о в: «Приведу пример умножения с помощью рук чисел первого десятка, больших 5. Пусть надо умножить 7 на 9. Загибаем на одной руке столько пальцев, на сколько 7 больше 5, а на другой руке — на сколько 9 больше 5. Итак, на одной руке загнуты 2 паль ца, не загнуты 3, на второй руке загнуты 4 пальца и не за гнут 1 палец. Сложим числа загнутых пальцев (2 + 4 = 6), что даст число десятков, и перемножим числа незагну тых пальцев (3 1 = 3), что даст число единиц. В резуль тате получим 63».

В а с я З а д а ч к и н: « Я покажу, как умножить 6 на 8.

На левой руке загибаем 1 палец, на правой — 3. Загну тые пальцы складываем (3 + 1 = 4), получаем десятки.

Незагнутые пальцы перемножаем (4 2 = 8), получаем единицы. Ответ: 48».

К а т я К н и ж к и н а: «Рассмотрим теперь приемы быстрого счета. Я в интересных книгах по математике нашла много полезных приемов быстрого счета» [13, 31].

П е т я В о п р о с о в: «Лучше всего начать со сложе ния. Катя, объясни нам прием сложения столбцами».

К а т я К н и ж к и н а: «Рассмотрим приемы сложения.

1. Сложение столбцами. В этом случае числа записы ваются в столбик, затем отдельно вычисляются суммы © НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by цифр каждого разряда, и результаты записываются вни зу в соответствующих разрядах. После этого складывают ся результаты выполненных промежуточных действий.

Пример.

2. Сложение прибавлением отдельных цифр. При сло жении этим способом к первому числу прибавляются сначала единицы второго числа, затем десятки и т. д. По сле нахождения суммы первых двух слагаемых к ней та ким же образом прибавляется третье слагаемое и т. д.

Пример 1.

Последовательно получаем:

32 ® 36 ® 106 ® 113 ®153 ® 155 ® 235 ® 240 ® 250.

Пример 2.

Имеем: 347 ® 349 ® 359 ® 859 ® 867 ® 927 ® 1327.

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by 3. Сложение с помощью округления слагаемых. Этот способ удобен, когда слагаемые близки к «круглым»

числам. В этом случае слагаемые сначала округляются, находится их сумма, затем находится сумма избытков, взятых со знаком «+», и недостатков, взятых со знаком «–». Наконец к сумме округленных чисел прибавляется сумма избытков и недостатков.

Пример.

1) Сумма округленных чисел: 600 + 800 + 400 + 300 = = 2100.

2) Сумма избытков и недостатков: 3 + 12 - 5 - 8 = 2.

3) Итог: 2100 + 2 = 2102».

В а с я З а д а ч к и н: «Рассмотрим интересный прием вычитания.

Вычитание при помощи дополнений. В этом случае уменьшаемое и вычитаемое увеличиваются (или умень шаются) на одно и то же число, и уже над новыми числа ми производится вычитание».

П е т я В о п р о с о в: «Вася, приведи, пожалуйста, примеры».

В а с я З а д а ч к и н: «Вот примеры вычитания при по мощи дополнений:

347 - 98 = 349 - 100 = 249;

542 - 23 = 539 - 20 = 519».

К а т я К н и ж к и н а: «Давайте рассмотрим некото рые полезные приемы умножения.

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by 1. Умножение на 4 и на 8. Чтобы число умножить на 4, можно его двукратно умножить на два. Умножение на производится трехкратным умножением на 2».

В а с я З а д а ч к и н: «Я сейчас покажу на примерах, как это умножается.

К а т я К н и ж к и н а: «Рассмотрим далее.

2. Умножение на 5, 15, 25.

а) Чтобы умножить число на 5, достаточно его умно жить на 10, а затем результат разделить на 2.

Например:

248 5 = 2480 : 2 = 1240.

б) Если а — какое либо число, то Отсюда видно, что для умножения числа на 15 доста точно это число умножить на 10 и к полученному ре зультату прибавить его половину.

Например:

943 15 = 9430 + 4715 = 14 145.

в) Чтобы число умножить на 25, достаточно его умно жить на 100 и результат разделить на 4.

Например:

317 25 = 31 700 : 4 = 7925».

П е т я В о п р о с о в: «Существуют ли простые прие мы умножения на 9 и на 11?»

К а т я К н и ж к и н а: «Давайте рассмотрим умноже ние на 9, на 11 и еще некоторые интересные и простые приемы.

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by (10 - 1) = 10а - а. Таким образом, чтобы число умно жить на 9, его сначала надо умножить на 10 и от резуль тата отнять само это число».

В а с я З а д а ч к и н: «Я подобрал пример на умноже ние этим методом:

4924 9 = 49 240 - 4924 = 44 316».

К а т я К н и ж к и н а: «Умножение на 11. Очевидно, в этом случае к результату умножения на 10 нужно при бавить само это число.

Например:

3816 11 = 38 160 + 3816 = 41 976».

В а с я З а д а ч к и н: «Впрочем, можно указать и бо лее простой способ. Если умножить 11 на 3816 столби ком, то получим:

Мы видим, что последней цифрой результата являет ся последняя цифра второго сомножителя, а каждая по следующая равна сумме соседних цифр числа (если сум ма больше 9, то единица переносится в следующий раз ряд), т. е. последовательно получаем 6; 6 + 1 = 7; 1 + 8 = 9;

8 + 3 = 11 (1 записывается и 1 переносится в следующий разряд); 3 + 1 = 4».

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by К а т я К н и ж к и н а: «Умножение на число, оканчи вающееся цифрой 5.

В этом случае сомножитель, оканчивающийся циф рой 5, умножаем на 2, а второй сомножитель делим на 2, затем перемножаем полученные числа.

Например:

Использование округления сомножителей при умно жении.

Например:

24 52 = 24 (50 + 2) = 1200 + 48 = 1248».

В а с я З а д а ч к и н: «Рассмотрим возведение в квад рат чисел, оканчивающихся на 5.

Пусть число имеет вид а5, тогда его можно предста вить в виде 10 а + 5. Возведем это число в квадрат:

= (10а + 5) 10а + (10а + 5) 5 = 100а2 + 50а + 50а + 25 = Таким образом, число сотен равно а (а + 1); для полу чения квадрата к нему нужно дописать 25».

П е т я В о п р о с о в: «Вася, у меня уже есть соответ ствующие примеры:

К а т я К н и ж к и н а: «В конце нашего знакомства с интересными приемами устных и письменных вычис лений я познакомлю вас с возведением в квадрат произ вольных двузначных чисел.

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by Пусть двузначное число имеет вид ab, т. е. оно равно 10a + b. Тогда (10a + b)2 = (10a + b) (10а + b) = (10a + b) 10а + (10a + b) b = 100a2 + 10ab + 10ab + b2 = 100a2 + + 20ab + b2. Это означает, что число единиц равно b2, чис ло десятков равно 2ab, число сотен равно a2.

Пример 1.

Вычислим 312.

Число единиц: 12 = 1.

Число десятков: 2 3 1 = 6.

Число сотен: 32 = 9.

Результат: 961.

Пример 2.

Вычислим 682.

Число единиц: 82 = 64 (4 записываем, 6 запоминаем).

Число десятков: 2 6 8 + 6 = 102 (2 записываем, 10 за поминаем).

Число сотен: 62 + 10 = 46.

Результат: 4624».

В а с я З а д а ч к и н: «Катя, расскажи, пожалуйста, о простейших электронных и счетных приборах и об их историческом значении».

К а т я К н и ж к и н а: «По этим вопросам существует очень много различной литературы и я предлагаю тебе и ребятам подготовить интересные сообщения, побывав в библиотеке».

1. Как выполняется сложение чисел столбцами?

2. Как выполняется сложение чисел прибавлением отдель ных цифр?

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by 3. Как выполнить сложение, используя округление слага емых?

4. Приведите пример вычитания при помощи дополнений.

5. Как найти разность с помощью последовательного вы читания разрядов?

6. Как устно число умножить на 8?

7. Как число умножить на 5, на 25?

8. Как можно число умножить на 9, на 11?

9. Умножьте столбиком 111 на какое нибудь пятизначное число и на основании этого примера сформулируйте правило умножения числа на 111.

10. Как умножить число на другое число, оканчивающееся цифрой 5?

11. Какой закон умножения используется при умножении чисел методом округления?

12. Как возвести в квадрат двузначное число, оканчиваю щееся цифрой 5?

13. Как устно возвести в квадрат двузначное число?

Используя эти задания, можно организовать соревно вания «Веселый счет».

1. Используя способ сложения столбцами, выполни те сложение чисел:

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by 2. Используя способ сложения столбцами, найдите сумму. Вместо символа «*» подберите такую цифру, что бы сумма делилась на 10:

3. Выполните сложение прибавлением отдельных цифр:

4. Выполните сложение прибавлением отдельных цифр;

вместо символа «*» подберите такую цифру, чтобы сум ма делилась на 9:

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by 5. Выполните сложение, используя округление сла гаемых:

6. Выполните вычитание, используя дополнения:

7. Выполните умножение:

8. Выполните умножение:

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by 9. Выполните умножение:

10. Выполните умножение:

11. Выполните умножение, используя округление сомножителей:

12. Выполните возведение в квадрат:

13. Выполните возведение в квадрат:

Тема 4 и геометрических игр, Занятия 1—6. Арифметические закономерности. Задания на восстановление чисел и цифр в арифметических за писях. Нахождение арифметических действий в зашиф рованных действиях. Волшебные квадраты. Арифмети ческие фокусы. Арифметические игры и головоломки.

В а с я З а д а ч к и н: «Ребята, нас ждет удивительный мир арифметических и геометрических игр, головоло мок и фокусов.

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by Арифметические закономерности 1. Установите закономерность в расположении чисел каждого ряда и допишите еще два числа в соответствии с этой закономерностью:

в) 5; 10; 15; 20; 25; 30; …; г) 6; 9; 12; 15; 18; 21; …;

д) 3; 7; 11; 15; 19; 23; …; е) 24; 21; 18; 15; 12; 9; …;

и) 25; 24; 22; 21; 19; 18; …; к) 12; 14; 13; 15; 14; 16; …;

л) 16; 12; 15; 11; 14; 10; …; м) 4; 5; 8; 9; 12; 13; …;

н) 1; 4; 9; 16; 25; 36; …; о) 15; 16; 14; 17; 13; 18; ….

Если успеете дописать все числа за 10 минут, то вы достаточно сообразительны.

2. Установите закономерность в расположении чисел каждого ряда и допишите вместо знака «*» еще одно число в соответствии с этой закономерностью:

в) 0; 3; 8; 15; 24; 35; *; г) 1; 8; 27; 64; 125; *.

3. Найдите закономерность и вставьте пропущенное число (числа):

а) 1, 1, 2, 3, 5, 8, …, 21, 34;

б) 7, 17, 37, 77, …, 317».

К а т я К н и ж к и н а: «Я предлагаю задания на вос становление чисел и цифр в арифметических записях.

Математическими ребусами называют задания на вос становление записей вычислений. Условие математиче ского ребуса содержит либо полностью зашифрованную запись, где цифры заменены буквами, звездочками или фигурами, либо в условии заменена только часть цифр.

Если символы или буквы в задании различные, то они обозначают различные цифры, если одинаковые, то нуж © НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by но помнить, что одинаковые цифры обозначаются одной и той же буквой или символом.

Восстановление записей выполняется на основании логических рассуждений. При этом нельзя ограничи ваться отысканием одного решения. Для решения удоб но переписать пример, заменяя все буквы точками. По степенно вместо точек будем писать найденные цифры, пока не восстановится вся запись примера.

Рассмотрим числовые ребусы двух видов:

1) Числовые ребусы, использующие операции сложе ния и вычитания.

2) Числовые ребусы, использующие операции умно жения и деления.

Для решения числовых ребусов в примерах на умно жение полезны следующие рекомендации.

Если в результате умножения некоторого числа на од нозначное число получено исходное число, то, очевидно, множитель равен единице. Нуль не может быть крайней левой цифрой в числе, а результат умножения на нуль состоит из одних нулей. Если в результате умножения некоторого числа, не оканчивающегося нулем, на неко торое однозначное число в числе единиц получен нуль, то число единиц множимого и множителя есть пара чи сел, одно из которых равно пяти, а второе — четное.

Я покажу на простом примере, как можно рассуждать в данном случае.

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by В этом примере 8 — число десятков множимого. Если только эти 8 десятков умножим хотя бы на 2, то в первом неполном произведении получим трехзначное число.

А в данном примере видно, что здесь число двузначное.

Следовательно, во множителе на месте единиц должна стоять цифра 1. Только от умножения 8 на 1 в первом не полном произведении на месте единиц получим цифру 8.

Значит, множитель 88. Ответ: 88 11 = 964.

Рассмотрим еще один пример.

Чтобы при умножении двузначного числа на 8 полу чить двузначное число, необходимо, чтобы число десят ков множимого было равно 1.

Так как произведение двузначного числа с числом де сятков, равным 1, на 8 дает двузначное число, то число единиц множимого не более 2, т. е. 0, 1 или 2.

Но произведение этого двузначного числа на число единиц множителя дает трехзначное число. Значит, еди ниц множителя больше 8, т. е. 9, а числом единиц мно жимого может быть только число 2.

Следовательно, пример расшифровывается так:

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by Рассмотрим более сложный пример, в котором необ ходимо восстановить цифры, обозначенные звездочка ми. Для удобства нужно пронумеровать строчки. Если посмотреть на последнюю строчку, то легко можно уви деть, что в третьей строчке последняя цифра 0. Теперь можно найти последнюю цифру в первой строчке. Это цифра 5. При умножении на 2 последней цифры первой строчки возможны два варианта: либо это цифра 0, либо 5 (0 2 = 0 и 5 2 = 10), но в пятой строчке последняя цифра 5, а она получена при умножении 3 (первая цифра второй строчки) на последнюю цифру первой строчки.

Таким образом, последняя цифра первой строчки — 5.

Теперь посмотрим на четвертую строчку. В конце нее стоит 0, потому что сумма цифр, стоящих во втором с конца столбике, равна 3. Посмотрим на вторую строч ку. Вместо знака «*» в ней стоит цифра 8, потому что при умножении 15 (конец первой строчки) на 8 получается число, последние цифры в записи которого 2 и 0. Теперь можно определить первую цифру первой строчки. Толь ко при умножении 8 на 4 получаем двузначное число, в котором первая цифра 3. В итоге получили 415 382, и определить все оставшиеся цифры не составляет тру да, нужно просто перемножить числа.

Ответ: 415 382».

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by «Ребята, теперь, после объяснения Кати, попробуйте сами восстановить примеры»:

К а т я К н и ж к и н а: «Некоторые числовые ребусы, в силу своей конструкции, позволяют применять особые приемы, которые приводят к оригинальному и коротко му решению.

Рассмотрим два класса таких задач. К первому классу отнесем ребусы, в которых слова состоят из одних и тех же наборов букв, но взятых в различных комбинациях.

Это дает возможность оперировать каждым набором как единым числом. Например:

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by Отметим, во первых, что К = 1, так как при сложении двух четырехзначных чисел получаем пятизначное чис ло. Далее выделим два набора: «А» и «МОД». Обозна чим МОД = Р. Тогда задача может быть записана так:

Это уравнение имеет единственное решение: А = 7;

Р = 894, которое может быть найдено путем перебора значений А. Действительно, так как А — однозначное число, то найдем и 10 вариантных значений А. Из них целое и, очевидно, трехзначное число будет удовлетво рять уравнению. Получим:

В а с я З а д а ч к и н: «Расшифруйте пример:

1) Д – В – А = Д : В : А = 2 (разным буквам соответст вуют разные цифры).

Расшифруйте запись умножения:

Я предлагаю вам интересные задания на нахождение арифметических действий в зашифрованных действиях.

1. При переписывании примера ученик забыл поста вить скобки, выполненная им запись оказалась такой:

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by Восстановите скобки, если ответом примера должно быть число:

а) 38; б) 196; в) 152.

2. Расставьте в записи 7 9 + 1 2 : 3 - 2 скобки так, чтобы значение этого выражения было равно:

а) 23; б) 75.

3. Между некоторыми из цифр 1 2 3 4 5 6 7 8 9, напи санных в указанном порядке, поставьте знаки сложения и вычитания так, чтобы получилось число 100.

4. Расставьте в записи 4 1 2 + 18 : 6 + 3 скобки так, что бы получилось: а) число 50; б) наибольшее возможное число.

5. В записи 1 * 2 * 3 * 4 * 5 замените звездочки знака ми действий и расставьте скобки так, чтобы получилось выражение, значение которого равно 100.

6. В записи 8 8 8 8 8 8 8 8 поставьте между некоторы ми цифрами знак сложения так, чтобы получилось вы ражение, значение которого равно 1000.

7. В записи 7 7 7 7 7 7 поставьте между некоторыми циф рами знаки арифметических действий и скобки так, что бы получилось выражение, значение которого равно 100.

8. В записи 9 8 7 6 5 4 3 2 1 поставьте между некото рыми цифрами знаки «+» или «-» так, чтобы получилось выражение, значение которого равно 1000.

9. Записаны подряд двадцать пятерок 555...55. По ставьте между некоторыми цифрами знак сложения так, чтобы сумма равнялась 1000.

10. В записи 9 9 9 9 9 9 9 поставьте между некоторыми девятками знаки «+» или «-» так, чтобы получившееся выражение равнялось 1989.

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by 11. Какое число в 7 раз больше своей последней цифры?

12. Шестизначное число начинается цифрой 5. Если переставить эту цифру на последнее место шестизначно го числа, то получится число, в 4 раза меньшее первона чального. Найдите это число.

13. Трехзначное число 87* делится на 5, а также на 3.

Какова последняя цифра?

14. К числу 37 припишите справа и слева одну и ту же цифру, такую, чтобы полученное четырехзначное число разделилось на 6».

П е т я В о п р о с о в: «Давайте познакомим ребят с вол шебными или магическими квадратами».

К а т я К н и ж к и н а: «Магический квадрат — это квадрат, у которого суммы чисел в клетках на каждой го ризонтали (строке), вертикали (столбце) и на диагона лях (с угла в угол) одинаковы. В некоторых заданиях указывается, какая сумма должна получиться, в дру гих — она не указывается, и нужно самим ее определить.

На рисунке показаны квадраты 3 3 и 4 4. Аналогично рисуются квадраты 5 5 и т. д.

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by Магические квадраты заинтересовали мыслите лей достаточно давно. Первое упоминание о них встре чается в древних рукописях Китая, относящихся к V—IV тыс. до н. э. С ними были знакомы математики Древней Индии. Из Индии увлечение магическими квад ратами перешло к арабам, которые приписывали этим числовым сочетаниям таинственные свойства. В Запад ной Европе в средние века магические квадраты были достоянием тех людей, которые занимались алхимией и астрологией. Они верили, что дощечка с изображени ем на ней магического квадрата способна отвратить беду от человека, который носит на себе такой талисман.

Следует отметить, что составление магических квад ратов является не только игрой. Их теорию разрабаты вали многие выдающиеся математики. Она находит при менение в решении важных проблем математики» [19, 20].

В а с я З а д а ч к и н: «Рассмотрим сначала простые задания.

1. Даны числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Числа 1, 4, 5 уже расположены в клетках квадрата.

Расставьте остальные числа так, чтобы полу чился магический квадрат.

2. Даны числа: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Числа 5, 6, 9 уже вписаны, а остальные нужно впи сать, чтобы сумма в любом направлении была одинаковой. Какое число будет такой суммой?

3. Даны числа: 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13.

Числа 8 и 9 уже вписаны, а остальные нужно вписать, чтобы сумма в любом направлении была одинаковой. Какое число будет такой суммой?

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by Обратите внимание на то, что во всех трех заданиях в центре квадрата записано среднее число, т. е. пятое от начала и пятое с конца.

4. Разместите в свободные клетки числа 23, 41, 47, 65, 71 так, чтобы сумма в любом направлении была одинаковой. Какое число будет такой суммой?

5. Перед вами три квадрата, в которых уже расставле ны некоторые числа от 1 до 16. Посмотрите, можете ли вы указать для каждого из квадратов то число, которое является суммой чисел, стоящих по вертикалям, гори зонталям и диагоналям?

Расставьте в каждом из квадратов остальные числа.

6. Впишите в пустые клетки недостающие числа от до 16, чтобы в сумме по всем столбцам, строкам и обеим диагоналям получилось число 34.

7. Вставьте числа 1, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 8 в клетки квадрата так, чтобы сумма чисел в каждом горизонталь ном, вертикальном и диагональном рядах равнялась 18».

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by К а т я К н и ж к и н а: «Посмотрите, как я решила за дачу 7».

В а с я З а д а ч к и н: «Теперь рассмотрим задания, в которых все числа нужно расставлять самостоятельно.

Эти задания сложнее, потому что для их решения необ ходимо ответить на следующие вопросы:

1. Чему должна равняться сумма чисел, например, в ка кой либо строке?

2. Какое число должно стоять в центре квадрата?

3. Любые ли числа могут находиться в угловых клет ках квадрата?

Эти вопросы — главные при заполнении квадратов.

Ответы на них являются основой решения задач этого типа. Покажем, как нужно рассуждать при заполнении квадрата.

Расположите числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 в виде квадрата 3 3 так, чтобы их сумма в каждом горизонтальном, вер тикальном и диагональном рядах была одинаковой.

Сумма чисел в каждой строке должна быть равна 15, так как а всего три строки. Необходимый перебор трех слагае мых, сумма которых равнялась бы 15, можно осущест © НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by вить восемью способами (9; 5; 1), (9; 4; 2), (8; 6; 1), (8; 5; 2), (8; 4; 3), (7; 6; 2), (7; 5; 3), (6; 5; 4). Число строк, столбцов и диагоналей в квадрате тоже равно 8. Значит, каждая из комбинаций должна ровно один раз войти в иско мый квадрат. Далее замечаем, что только число 5 входит в тройки четыре раза, поэтому его помещаем в центр.

Числа, стоящие в тройках по три раза: 8, 2, 6, 4, должны стоять в углах. После этого легко размещаются еще че тыре числа.

8. Расставьте в каждой из девяти клеток квадрата числа 1, 2, 3, 4, 9, 12, 18, 36 так, чтобы произведение чи сел в каждом горизонтальном, вертикальном и диаго нальном рядах равнялось 216.

9. Впишите в клетки квадрата 4 4 числа от 1 до 16, каждое ровно один раз, так, чтобы получился магиче ский квадрат.

10. Впишите в клетки квадрата 5 5 числа от 1 до 25, каждое ровно один раз, так, чтобы получился магиче ский квадрат».

П е т я В о п р о с о в: «А я люблю решать судоку. Это квадраты, составленные из 9 квадратиков 3 3. Решать судоку полезно и интересно. Заполнять клеточки очень просто. Нужно в каждом квадрате 3 3 расставить числа от 1 до 9 так, чтобы: 1) в любой строке и в любом столбце квадрата 9 9 не было одинаковых цифр; 2) в любом квадратике 3 3 не было одинаковых цифр.

В качестве примера я покажу уже заполненный квад рат. На рисунке данные в квадрате числа выделены жир ным шрифтом, а остальные — светлым.

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by А теперь попробуйте сами заполнить квадраты судоку.

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by Арифметические игры и головоломки К а т я К н и ж к и н а: «Ребята, я подобрала для вас интересные игры. Давайте поиграем.

1. Игра с выкладыванием домино на прямоугольную доску Оборудование: прямоугольная доска, кости домино.

Правила игры: участники по очереди кладут кости до мино на прямоугольную доску, располагая их произ вольно, костей должно быть достаточно для накрывания всей поверхности доски. Выигрывает тот, кому удается положить последнюю кость домино.

2. Игра с выкладыванием монет по кругу Оборудование: монеты (плоские круглые фишки).

Правила игры: на столе из монет выкладывается ок ружность так, чтобы они соприкасались. Участники де лают ходы по очереди, за один ход можно взять одну или две монеты, которые лежат рядом. Выигрывает тот, кто возьмет последнюю монету.

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by 3. Игра «Ним»

Оборудование: игровое поле (любая ровная поверх ность), фишки одного цвета (камешки или монеты).

Правила игры: фишки раскладываются на игровом поле (наиболее известный вариант с 12 фишками, кото рые раскладывают в три ряда: 3, 4, 5 фишек), игроки по очереди берут по одной или несколько фишек из любого ряда, выигрывает тот, кто возьмет последнюю фишку.

Можно играть наоборот, считая того, кто взял послед нюю фишку, проигравшим.

4. Игра «Так тикль»

Игра распространена среди школьников стран Евро пы и придумана совсем недавно.

Оборудование: игровое поле 4 4 (16 клеток) (поле в приложении), 4 шашки черного цвета и 4 — белого.

Правила игры: каждый из играющих расставляет свои шашки по обеим сторонам поля через одну с шашками противника; за один ход шашку можно передвигать на одну свободную клетку вверх или вниз, вправо или вле во, но не по диагонали; шашки противника с поля не снимаются. Задача заключается в том, чтобы располо жить три шашки своего цвета в один ряд по вертикали, горизонтали или диагонали.

5. Игра «Мельница»

Эта игра была известна еще в Древней Греции и в Риме, но и сейчас она имеет довольно широкое распростране ние. Название «мельница» объясняется тем, что каждые три шашки, выставленные в один ряд, направленный в центр игрового поля, образуют как бы крыло ветряной мельницы.

Оборудование: игровое поле (поле 2 в приложении), 9 белых и 9 черных шашек.

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by Правила игры: в начале игры оба играющих по очере ди выставляют свои 9 шашек на любые кружки игрового поля, стараясь поставить 3 шашки в один ряд в любом направлении. Задача играющего — расположить свои шашки так, чтобы партнер не мог замкнуть ряд. Когда 18 шашек будут выставлены на поле, игроки делают по очереди ходы, передвигаясь на один свободный кружок по черным линиям (штриховым или сплошным). Иг рающие стараются построить 3 свои шашки в ряд (по вертикали, горизонтали или диагонали). Если игроку удается построить ряд из трех шашек, он получает право снять шашку противника. Разрешается «перепрыгивать»

через одну шашку (свою или противника), если за ней есть свободный кружок. Тот игрок, у которого в процессе игры останутся только 2 шашки, считается побежденным».

К а т я К н и ж к и н а: «Эти фокусы вы можете пока зать своим родителям и друзьям. Разобраться в них и научиться их выполнять несложно. Потренируйтесь предварительно и удивляйте.

Фокус «Феноменальная память»

Для проведения этого фокуса необходимо заготовить много карточек, на каждой из которых поставить ее но мер (двузначное число) и записать семизначное число по особому алгоритму. «Фокусник» раздает карточки участникам и объявляет, что он запомнил числа, запи санные на каждой карточке. Любой участник называет номер карточки, а фокусник, немного подумав, говорит, какое на этой карточке записано число. Разгадка данно го фокуса проста: чтобы назвать число, «фокусник» про делывает следующие действия: прибавляет к номеру карточки число 5, переворачивает цифры полученного двузначного числа, затем каждая следующая цифра на © НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by ходится сложением двух последних, если получается двузначное число, то берется цифра единиц. Например:

номер карточки — 46. Прибавим 5, получим 51, переста вим цифры, получим 15, сложим цифры, следующая — 6, затем 5 + 6 = 11, т. е. возьмем 1, потом 6 + 1 = 7, дальше цифры 8, 5. Число на карточке: 1 561 785.

Фокус «Угадать задуманное число»

«Фокусник» предлагает кому нибудь из учащихся написать на листе бумаги любое трехзначное число. Да лее приписать к нему это же число еще раз. Получится шестизначное число. Передать лист соседу, пусть он раз делит это число на 7. Передать лист дальше, пусть сле дующий ученик разделит полученное число на 11. Снова передать результат дальше, следующий ученик пусть разделит полученное число на 13. Затем передать лист «фокуснику». Он может назвать задуманное число».

П е т я В о п р о с о в: «Ребята, может, вы догадались, как «фокусник» отгадывает задуманное число?»

Предсказание задуманного натурального числа К а т я К н и ж к и н а: «Задачи на угадывание или пред сказание задуманного натурального числа, в сущности, сводятся не к отгадке, а к решению некоторой задачи. Вы предлагаете кому либо задумать число, и это число у него не спрашиваете. Затем вы предлагаете задумавшему про извести над задуманным им числом разные с виду произ вольные действия и сказать вам, что в результате получи лось. В конечном итоге вы получаете конец нити, по кото рой разматываете весь клубок и добираетесь до начала.

Рассмотрим самые простые задания.

1) Я задумала число, прибавила к нему 1, сумму умно жила на 2, полученное произведение разделила на 3, из результата вычла 4, получила 6. Какое число я задумала?

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by Решение. Рассуждаем в обратном порядке: 6 + 4 = 10;

10 : 3 = 30;

30 : 2 = 15; 15 - 1 = 14. Ответ: 14.

2) Задумайте какое либо число. Прибавьте к этому числу 2, полученную сумму умножьте на 4, из последне го произведения вычтите 8.

Чтобы отгадать число, которое задумали, надо полу ченное число разделить на 4.

3) Задумайте число, прибавьте к нему 6, из суммы вы чтите 2, затем еще вычтите задуманное число, к резуль тату прибавьте 1. Получится 5.

Объяснение:

Как видим, секрет отгадывания заключается в том, что задуманное число вычитается, а вычисления произ водятся над остальными числами, а именно: 6 - 2 + 1 = 5».

П е т я В о п р о с о в: «Очень интересный арифмети ческий фокус связан со свойствами числа 1001. Заду майте какое нибудь трехзначное число. Допишите к это му числу справа такое же число. Например, если вы задумали число 328, то получится 328 328. А теперь раз делите задуманное число на 7. Разделили? У каждого из вас деление выполняется нацело. А теперь результат разделите на 11. У вас опять деление выполнится наце ло. Теперь я предлагаю разделить полученный результат на 13. Если вы все действия выполняли без ошибок, то у вас получится задуманное число. Можете ли вы объяс нить этот фокус, в чем его секрет?»

В а с я З а д а ч к и н: «Я хочу предложить ребятам за дания на угадывание числа и месяца рождения.

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by Вспомните число, когда вы родились. Умножьте это число на 2, полученное произведение умножьте еще на 5, к новому произведению прибавьте 20, сумму умножьте на 10, к полученному произведению прибавьте порядко вый номер месяца рождения, назовите число, которое у вас получилось, а я отгадаю, какого числа и в каком ме сяце вы родились.

Из полученных чисел надо вычесть 200. Получим трехзначные или четырехзначные числа. Первые одна или две цифры, считая справа налево, обозначают по рядковый номер месяца, а две следующие цифры укажут число этого месяца. Например, если получилось число 2302, то дата рождения 23 февраля».

П е т я В о п р о с о в: «Ребята, попробуйте самостоя тельно разобраться в этом фокусе, тем более что под сказка уже дана».

К а т я К н и ж к и н а: «Рассмотрим еще задания на уга дывание числа, месяца рождения и возраста.

Число, когда вы родились, умножьте на 100, к получен ному произведению прибавьте порядковый номер меся ца, в котором вы родились, результат сложения умножьте на 100 и к последнему произведению прибавьте число ва ших лет. Назовите число, которое у вас получилось.

Секрет разгадывания прост. В каждом из этих чисел две крайние справа цифры указывают количество лет, две следующие цифры — номер месяца рождения и две или одна оставшиеся цифры дают число этого месяца.

Например, если вы родились 12 апреля (12.04) и вам 11 лет, то 12 100 + 4 = 1204, 1204 100 = 120 400, затем 120 400 + 11 = 120 411. У вас получилось число, в кото ром последние две цифры указывают количество лет, а первые четыре укажут число и месяц рождения».

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by Восстановите первоначальную запись в следующих примерах [32]:

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by 13) Каждой букве соответствует единственная цифра, а двум различным буквам должны соответствовать две различные цифры.

Тема 5 мир деления Занятия 1—3. Делимость. Различные способы деле ния. Признаки делимости. Простые и составные числа.

Определение числа по остатку. Совершенные и друже ственные числа. Числа близнецы.

К а т я К н и ж к и н а: «Мы отправляемся тропинкой в удивительный мир деления, и я вам расскажу об этой математической операции.

Делимость — одно из основных понятий в теории чи сел. Говорят, что число a делится на целое число b 0, если существует такое целое число c, что a = b c. Число a называется делимым, b — делителем, а результат деле ния c — частным. Например, число 28 делится на 7, пото му что 28 = 7 4. Часто утверждение о том, что число a де лится нацело на число b, выражают словами a кратно b (вспомните, какое число называется кратным числу b).

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by Из определения видно, что 0 делится на любое целое число, в результате получаем 0 (0 : a = 0, потому что a 0 = 0).

Для натуральных чисел деление нацело не всегда вы полнимо, потому что результат деления двух натураль ных чисел — не всегда натуральное число. Например, 25 не делится нацело на 6, потому что нет такого нату рального числа, при умножении которого на 6 получи лось бы 25. При делении 24 на 6 получаем 4, следова тельно, при делении 25 на 6 деление выполняется не нацело и остается 1. Число 1 в данном случае называется остатком, а число 25 можно записать: 25 = 6 4 + 1, ис пользуя делитель, частное и остаток. Таким образом, разделить натуральное число a на натуральное число b с остатком — это значит найти такие два числа q (част ное) и r (остаток), чтобы выполнялось равенство: a = b q + r, где 0 r < b. При делении натуральных чисел на цело остаток при делении равен 0, в остальных случаях остаток меньше делителя.

Способы выполнения деления очень простые, сейчас каждый ученик после обучения делению многозначного числа на однозначное и многозначного числа на много значное легко и быстро выполняет деление и получает результат. Правила выполнения деления не всегда были такими. Наши предки пользовались очень громоздкими и трудоемкими приемами, причем у различных народов были свои правила. В старину говорили: «Умножение — мучение, а с делением — беда». Существовало очень много различных приемов выполнения умножения и де ления, и каждый учитель счетного дела своих учеников обучал определенным приемам. Усваивались эти прие мы с большим трудом и очень долго. Людей, которые © НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by могли выполнять умножение и деление, было очень мало, считалось, что для выполнения этих операций нужно природное дарование, а простой человек этому научиться не мог.

Полезно знать некоторые свойства делимости для на туральных чисел:

1. Для любых натуральных чисел: a : a = 1 и a : 1 = a.

2. Если а делится на с и b делится на с, то сумма a + b делится на c.

3. Если а делится на с и b делится на с, то разность a - b (a - b > 0) делится на c.

4. Если а делится на с или b делится на с, то произ ведение a b делится на c.

5. Если натуральное число a делится на произведе ние натуральных чисел b и c, то a делится на каждое из чисел b и c.

6. Если a делится на b и b делится на с, то и а будет делиться на с».

П е т я В о п р о с о в: «Катя, можно быстро опреде лить, делится ли данное число на 4 или на 5?»

К а т я К н и ж к и н а: «Для того чтобы быстро узнать, делится ли одно число на другое, не прибегая непосред ственно к выполнению деления, были установлены при знаки делимости. Приведу основные признаки делимо сти натуральных чисел.

1. Число делится на 2, если оно заканчивается четной цифрой (2, 4, 6, 8) или нулем.

2. Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by 3. Число делится на 4, если две последние цифры в его записи нули или образуют число, делящееся на 4.

4. Число делится на 5, если оно заканчивается 0 или 5.

5. Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

6. Число делится на 10, если оно заканчивается 0.

7. Число делится на 25, если две последние цифры в его записи нули или образуют число, делящееся на 25.

8. Число делится на 8, если три последние цифры в его записи нули или образуют число, делящееся на 8.

9. Число делится на 11, если разность между суммой цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на нечетных местах, делится на 11 или эти сум мы равны».

П е т я В о п р о с о в: «Катя, а что ты можешь расска зать о четных и нечетных числах?»

К а т я К н и ж к и н а: «Натуральные числа, которые делятся нацело на 2, называются четными, а те, которые не делятся на 2, — нечетными. Греческий математик Пи фагор (VI в. до н. э.) разделил натуральные числа на чет ные и нечетные. В натуральном ряду чисел каждое вто рое число четное: 2, 4, 6,.... Четное число можно обозна чать 2n или 2p + 2. Множитель 2 показывает, что число делится на 2. Нечетные числа соответственно обознача ются 2n - 1 или 2p + 1, где n — натуральные числа, а p — натуральные числа и нуль.

А сейчас я хочу рассказать о простых числах и состав ных. Число 12 имеет следующие делители: 1, 2, 3, 4, 6, 12, а число 11 имеет только два делителя — единицу и само число 11. Числа, которые имеют только два делителя, — единицу и само себя, называются простыми. Числа, ко торые имеют более двух делителей, называются состав ными. Натуральное число единица не является ни про © НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by стым числом, ни составным, потому что у него только один делитель. Вот первые десять простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

Простые числа интересовали математиков очень дав но. Понятие простого числа возникло у пифагорейцев, они составляли таблицы простых чисел, рассматривали вопросы, связанные с количеством простых чисел и их распределением среди всех натуральных чисел. Около 300 лет до н. э. древнегреческий математик Евклид дока зал, что простых чисел очень много и не существует сре ди натуральных чисел наибольшего простого числа.

А теперь интересный материал для самых любозна тельных.

Предположим, что число n — самое большое простое натуральное число, тогда произведение всех простых чисел, включая n, будет натуральным числом. Рассмот рим натуральное число 2 3 5 7 11 … n + 1. Это число не делится ни на одно из простых чисел, которые мы пе ремножали, поэтому у этого натурального числа нет других делителей, кроме единицы и самого этого числа.

Мы показали, что существует простое число, которое больше n, поэтому число n — не самое большое простое число. Эти рассуждения можно продолжать и дальше, значит, наибольшего простого числа не существует».

П е т я В о п р о с о в: «Катя, а что такое “решето Эра тосфена”?»

К а т я К н и ж к и н а: «Древнегреческий математик Эратосфен придумал способ, с помощью которого мож но найти все простые натуральные числа от 1 до некото рого заданного числа. Этот метод называется «решетом Эратосфена». Для получения таблицы простых чисел © НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by Эратосфен записывал числа на восковых дощечках и про калывал составные числа. В результате дощечка была похожа на решето. Сейчас я покажу на примере первой сотни натуральных чисел, как найти с помощью указан ного метода все простые числа.

Перед вами стоклеточный квадрат, в котором нату ральные числа расставлены по порядку.

В первой строчке числа от 1 до 10, во второй — от до 20 и т. д. В последней строчке — числа от 91 до 100. Вы будете вычеркивать карандашом числа следующим об разом. Поскольку 1 — не простое число и не составное, то его мы зачеркиваем. Затем, начиная от 2, зачеркиваем во всех строках числа, которые делятся на 2, не зачерки вая саму двойку, т. е. будут зачеркнуты все числа, кото рые стоят в четных столбиках. Потом, начиная от 3, за черкиваем все числа из таблицы, которые делятся на три, оставляя незачеркнутой тройку. Затем числа, кото рые делятся на 5, оставляя незачеркнутой пятерку, по том — на 7, оставляя ее незачеркнутой. Следующее за се © НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by меркой простое число 11, но все числа из первой сотни, которые делятся на него, уже зачеркнуты. Оставшиеся незачеркнутыми числа из таблицы являются простыми.

Теперь посмотрите на таблицу. Похожа она на “решето”?»

В а с я З а д а ч к и н: «Обратите внимание, что в первой строчке четыре простых числа, а в последней — только одно. В остальных строчках либо два, либо три простых числа. Еще в древности было замечено, что чем дальше мы продвигаемся по натуральному ряду чисел, тем меньше натуральных простых чисел встречается и располагаются они нерегулярно. Наибольшее известное сегодня простое число имеет в записи более двадцати пяти тысяч знаков».

К а т я К н и ж к и н а: «Вы уже знаете, что любое чис ло можно единственным образом разложить на простые сомножители. Умение раскладывать числа на простые сомножители используется для нахождения наибольше го общего делителя (НОД) и наименьшего общего крат ного (НОК). Правила нахождения НОД и НОК вы уже знаете (если забыли, то повторите)». Для решения задач вам будет полезна формула:

НОД (а, b) НОК (а, b) = а b для любых натуральных чисел а и b.

1. Что значит разделить нацело натуральное число a на на туральное число b?

2. Сформулируйте признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 25. Попробуйте самостоятельно придумать признаки дели мости на 6 и 100.

3. Что значит разделить с остатком натуральное число a на натуральное число b?

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by 4. Может ли остаток при делении натуральных чисел быть больше делителя; равен делителю?

5. Каждое слагаемое суммы делится на некоторое нату ральное число. Что можно сказать о делимости суммы на это натуральное число?

6. Уменьшаемое и вычитаемое делятся на некоторое нату ральное число. Что можно сказать о делимости разности на это натуральное число?

7. Один из множителей делится на некоторое число. Бу дет ли произведение делиться на это натуральное число?



Pages:     || 2 |


Похожие работы:

«1 Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский экономико-правовой институт (НОУ ВПО МЭПИ) Кафедра юриспруденции РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ ЭКОЛОГИЧЕСКОЕ ПРАВО эобразовательная программа по направления подготовки юриспруденция Профиль подготовки: гражданско-правовой Квалификация (степень) выпускника Бакалавр юриспруденции Москва 2013 СОДЕРЖАНИЕ Цели освоения учебной дисциплины. 1. Место учебной дисциплины в структуре ООП. 2. Структура и...»

«МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное учреждение высшего профессионального образования Московский государственный агроинженерный университет имени В.П. Горячкина ВВЕДЕНИЕ В СПЕЦИАЛЬНОСТЬ АВТОМОБИЛИ И АВТОМОБИЛЬНОЕ ХОЗЯЙСТВО Учебное пособие МОСКВА 2009 Введение За последнее двадцатилетие с момента начала построения в нашей стране рыночной экономики изменились как сами предприятия, так и их требования к специалистам, и, конечно же, условия работы. Если...»

«Методические указания к изучению дисциплины Материалы и компоненты электронной техники для студентов заочной формы обучения по специальностям: 1- 36 04 021 Промышленная электроника 1- 39 02 01 Моделирование и компьютерное проектирование радиоэлектронных средств Разработал: доцент каф. К и Т РЭС, к.т.н. Ю.Г. Грозберг 2 ВВЕДЕНИЕ Цели и задачи изучения предмета. Значение предмета и его связь с другими специальными предметами. Современный научно-технический прогресс неразрывно связан с разработкой...»

«Федеральное агенство по образованию и науке Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Воронежский государственный университет Д.В. Крыльский, А.И. Сливкин ГЕТЕРОЦИКЛИЧЕСКИЕ ЛЕКАРСТВЕННЫЕ ВЕЩЕСТВА (ЛЕКАРСТВЕННЫЕ ВЕЩЕСТВА С ГЕТЕРОЦИКЛИЧЕСКОЙ СТРУКТУРОЙ) Учебное пособие по фармацевтической химии Воронеж 2007 УДК 615.07 Рекомендовано к изданию Ученым Советом фармацевтического факультета 18.01.2007 г (протокол № ). Р е ц е н з е н т: зав....»

«Уважаемые выпускники! В перечисленных ниже изданиях содержатся методические рекомендации, которые помогут должным образом подготовить, оформить и успешно защитить выпускную квалификационную работу. Рыжков, И. Б. Основы научных исследований и изобретательства [Электронный ресурс] : [учебное пособие для студентов вузов, обучающихся по направлению подготовки (специальностям) 280400 — Природообустройство, 280300 — Водные ресурсы и водопользование] / И. Б. Рыжков.— СанктПетербург [и др.] : Лань,...»

«Образец подзаголовка Q ВК Полховская Т.М. Стандарты ИСО серии 9000 и бережливое производство. XV Международный семинар Непрерывное совершенствование Образец подзаголовка деятельности организаций Москва, НИТУ МИСиС, 2010 Q ВК Комплекс стандартов ИСО серии 9000 Системы менеджмента качества. ИСО 9000:2005 Основные положения и словарь Системы менеджмента качества. ИСО 9001:2008 Требования Менеджмент для достижения устойчивого успеха организации. – ИСО 9004:2009 Подход на основе менеджмента качества...»

«УДК 339.5 (075.8) РОССИЙСКИЙ ИНДЕКС ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ЦИТИРОВАНИЯ Н.А. Сберегаев ФГБОУ ВПО Калининградский государственный технический университет, Россия, 236022, г. Калининград, Советский проспект, 1 E-mail: sberegaev@klgtu.ru Изложены результаты исследования по разработке национальной информационноаналитической системы оценки результативности деятельности преподавателей российских вузов по подготовке учебной и учебно-методической литературы. Обосновывается возможность и необходимость в основу...»

«Министерство образования и науки РФ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Уральский государственный экономический университет Колледж УТВЕРЖДАЮ: Директор Колледжа: _ В.А. Мезенин Методические указания по выполнению контрольной работы по дисциплине Статистика для студентов заочной формы обучения специальностей: Экономика и бухгалтерский учет, Менеджмент, Банковское дело, Земельно-имущественные отношения Екатеринбург 2010 Методические рекомендации...»

«Министерство образования Республики Беларусь УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ЯНКИ КУПАЛЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО КУРСУ ЗООЛОГИЯ БЕСПОЗВОНОЧНЫХ для студентов специальностей 1–31.01.01–02 – Биология, 1–33.01.01 – Биоэкология Гродно 2007 УДК 592 (076) ББК 28.691 М54 Составители: А.В.Рыжая, старший преподаватель кафедры зоологии и физиологии человека и животных ГрГУ им. Я. Купалы; Т.С. Копысова, преподаватель кафедры зоологии и физиологии человека и...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию. САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ им. СМ. Кирова Кафедра экономической теории ЭКОНОМИКА ОРГАНИЗАЦИЙ Рабочая программа, методические указания по выполнению курсовой работы для студентов специальности 080109 Бухгалтерский учет, анализ и аудит всех форм обучения Санкт-Петербург 2006 Рассмотрены и рекомендованы к изданию учебно-методической комиссией факультета экономики и...»

«Министерство здравоохранения Российской Федерации ГБОУ ВПО Нижегородская государственная медицинская академия Минздрава России Д.А. Изуткин, О.С. Нагорных ИСТОРИЯ МЕДИЦИНЫ Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство НижГМА 2013 УДК 091:61 ББК: 5 гя 73 И 53 Печатается по решению Центрального методического совета Нижегородской государственной медицинской академии (протокол № 5 от 25.03.2013 г.) Под редакцией заведующего кафедрой социально-гуманитарных наук Нижегородской...»

«Федеральное агентство железнодорожного транспорта Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (ФГБОУ ВПО ПГУПС) Кафедра Логистика и коммерческая работа Сравнительная оценка экономической эффективности различных вариантов доставки грузов Учебно-методическое пособие Санкт-Петербург ПГУПС 20 Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. А. М. ГОРЬКОГО А. П. Замятин, А. М. Шур ЯЗЫКИ, ГРАММАТИКИ, РАСПОЗНАВАТЕЛИ Рекомендовано УМС по математике и механике УМО по классическому университетскому образованию РФ в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по группе математических направлений и специальностей Екатеринбург Издательство Уральского университета 2007 УДК 519.68+519.713+519.766.2 З269 Р е ц е н з е н т ы:...»

«ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИаЕМНЫЙ АНАЛИЗ В УПРАВЛЕНИИ ОРГАНИЗАЦИЯМИ; СПРАВОЧНИК Под редакцией В.Н.Волковой и А.А.Емельянова Рекомендовано Учебно-методическим объединением по образованию в области прикладной информатики в качестве учебного пособия для студентов вузов, обучающихся по специальности Прикладная информатика (по областям) МОСКВА ФИНАНСЫ И СТАТИСТИКА 2006 УДК 005,7:004(035) ББК 65.291.21в631я2 ТЗЗ АВТОРЫ: В.А. Барииов, Л.С. Болотова, В.Н. Волкова, А.А. Денисов, В.А. Дуболазов, А.А. Емельянов,...»

«1 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ КЕМЕРОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ПИЩЕВОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ П.В. Масленников, Н.Ю. Латков, М.П. Ивахин, В.Г. Михайлов, В.Н. Дикарев ОРГАНИЗАЦИЯ, НОРМИРОВАНИЕ И ОПЛАТА ТРУДА НА ПРЕДПРИЯТИЯХ ОТРАСЛИ Учебное пособие Для студентов вузов Кемерово 2008 2 УДК 658.5:657 (075) ББК 65.245я7 О-64 Учебное пособие подготовлено в соответствии с требованиями государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования Российской Федерации по...»

«1 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ШУЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра спортивных дисциплин УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС по дисциплине ФИЗИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА Раздел ЛЕГКАЯ АТЛЕТИКА для специальности 050720.65 Физическая культура со специализацией Физическое воспитание в дошкольных учреждениях ЧАСТЬ Составитель: Гогин А.Б., кандидат педагогических наук, доцент кафедры спортивных дисциплин...»

«Международный союз юристов Федеральная палата адвокатов Российской Федерации Энциклопедия будущего адвоката Рекомендовано Международным союзом юристов, Федеральной палатой адвокатов Российской Федерации в качестве учебного пособия Научный редактор — доктор юридических наук, кандидат экономических наук, профессор И.Л. Трунов Руководитель авторского коллектива — доктор юридических наук, профессор Л.К. Айвар Второе издание, переработанное и дополненное УДК 347.965(470+571)(031.021.4+079) ББК...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ КАДРОВ ПО ПРОГРАММАМ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ДЛЯ ТЕМАТИЧЕСКОГО НАПРАВЛЕНИЯ ННС НАНОЭЛЕКТРОНИКА, Комплект 2 Методические рекомендации по организации и проведению итоговой государственной аттестации бакалавров Разработчик: Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский государственный институт...»

«Санкт-Петербургский государственный институт точной механики и оптики (технический университет) Федерация Интернет-образования В. М. Домненко, М. В. Бурсов Создание образовательных интернет-ресурсов Учебное пособие Санкт-Петербург 2002 УДК 681.3 Домненко В. М., Бурсов М. В. Создание образовательных интернет-ресурсов. Учебное пособие. – СПбГИТМО(ТУ), 2002. – 104 с. Рецензенты: Л. С. Лисицына, к.т.н., зав. кафедрой компьютерных образовательных технологий СПбГИТМО(ТУ), директор РЦ ФИО Д. Д....»

«1 класс Русский язык - УМК для 1–4 кл., Р.Н. Бунеев, Е.В. Бунеева, О.В. Пронина, О.В. Чиндилова и др. Литературное чтение - УМК: учебники Литературное чтение для 1–4 кл., рабочие тетради и методические рекомендации для учителя (авторы Р.Н. Бунеев, Е.В. Бунеева, О.В. Чиндилова и др.) Математика Математика, 1 класс, Т.Е. Демидова, С.А. Козлова, А.Г. Рубин, А.П. (Образовательная система Школа 2100. Сборник программ. Начальная школа. Под научной редакцией Д.И.Фельдштейна. Изд.2-е, доп. - М.:...»










 
2014 www.av.disus.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.