WWW.DISUS.RU

БЕСПЛАТНАЯ НАУЧНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Авторефераты, диссертации, методички

 

Pages:     | 1 ||

«Гуцанович, С. А. Г93 Математика. 5 класс. Тропинками математики : пособие для учащихся учреждений общ. сред. образования с белорус. и рус. яз. обучения / С. А. Гуцанович, Н. В. Костюкович. — 2-е изд. — Минск : Аверсэв, ...»

-- [ Страница 2 ] --

8. Какие числа называются простыми; составными?

9. Какие числа называются четными; нечетными?

10. Можно ли назвать самое большое четное число; про стое число; составное число?

11. Назовите пятизначное число, все цифры которого раз личны, делящееся на 4; на 25; на 8.

12. Некоторое натуральное число делится на 7, будет ли делиться на 7 число, следующее за ним в натуральном ряду?

13. Существует ли натуральное число, которое не являет ся ни простым, ни составным?

14. Существует ли четное простое число?

15. В каких десятках первой сотни натуральных чисел име ется три и только три простых числа?

16. Есть ли среди натуральных чисел первой сотни такой десяток, в котором было бы лишь одно простое число?

17. Сформулируйте правила нахождения НОД и НОК чисел.

18. Четной или нечетной будет сумма двух четных чисел?

А трех нечетных?

19. Маша говорит, что знает четыре числа, сумма и произ ведение которых — нечетные числа. Права ли Маша?

20. Можно ли заплатить без сдачи:

а) 20 000 рублей семью купюрами по 1, 5 и 10 тысяч рублей;

б) 20 000 рублей семью купюрами по 1, 5 тысяч рублей;

в) 25 000 рублей восемью купюрами по 1 и 5 тысяч рублей?

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by 1. Четырехзначное число, у которого все цифры оди наковые, имеет только два простых делителя. Что это за число?

2. Как изменится частное двух чисел, если делимое увеличить в 20 раз?

3. В частном делитель четный. Как изменится частное двух чисел, если делитель уменьшить в 2 раза?

4. Как изменится частное и остаток, если к делимому прибавить делитель?

5. В каких случаях частное двух чисел равно: а) одно му из них; б) каждому из них?

6. Напишите пятизначное число, которое делится на:

а) 3; б) 4; в) 6; г) 9; д) 25.

7. Какой цифрой может заканчиваться число 7142*, если оно делится на:

8. Какую цифру следует поставить вместо символа «*»

в числе 5471*6, чтобы оно делилось на:

9. Запишите все трехзначные числа в промежутке от 500 до 550, кратные:

10. Может ли сумма трех последовательных натураль ных чисел быть простым числом?

11. Может ли сумма четырех последовательных нату ральных чисел быть простым числом?

12. Дана сумма: 28 + 31 + 61 + 92 + 120. Будет ли она де литься на 3?

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by 13. К двузначному числу прибавили 5, сумма оказа лась кратной 5. Когда из него вычли 3, разность оказа лась кратной трем. А когда его разделили на 2, оказа лось, что и частное делится на 2. Найдите число.

14. К двузначному числу приписано такое же число.

Может ли образовавшееся четырехзначное число быть простым?

15. Покажите, что сумма двух любых последователь ных нечетных чисел делится на 4.

16. Какое число при делении его на любое из чисел 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 каждый раз дает в остатке 1?

17. Числа 100 и 90 разделили на одно и то же число.

В первом случае в остатке получили 4, а во втором — 18.

На какое число делили?

18. Можно ли утверждать, что среди любых трех по следовательных четных чисел (или же трех последова тельных нечетных чисел) всегда есть число, кратное 3?

19. Числа a и b — взаимно простые. Будут ли взаимно простыми числа a + b и a b?

20. Произведение двух чисел равно 5292, а их НОК равно 252. Найдите НОД этих чисел.

21. Произведение двух чисел равно 21 600, а их НОД равен 60. Найдите НОК этих чисел.

22. Найдите разность НОК и НОД чисел 330 и 44.

23. Найдите наибольшее целое число, дающее при де лении на 13 с остатком частное 17.

24. Найдите наименьшее натуральное число, кратное 100, сумма цифр которого равна 100.

25. Найдите наибольшее число, в записи которого каж дые две соседние цифры образуют число, делящееся на 17.

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by 26. Сколько чисел от 1 до 1000 включительно не делят ся ни на 2, ни на 5?

27. Напишите наименьшее целое число, составленное из всех цифр, которое делится на: а) 5; б) 20.

28. Найдите наибольшее трехзначное число, кратное 3, но не кратное 9.

29. На сколько сумма всех четных чисел первой сотни больше суммы всех нечетных чисел этой сотни?

30. Объясните, почему разность между двумя соседни ми простыми числами (кроме чисел 2 и 3) равна четному числу.

31. Сколько есть четырехзначных чисел, все цифры ко торых четные?

32. В ряд выписаны числа от 1 до 10. Можно ли расста вить между ними знаки «+» и «-» так, чтобы значение полученного выражения было равно нулю?

Тема 6 во времени Занятия 1—4. Математические задачи загадки античных времен. Старинные занимательные истории по матема тике. Занимательные задачи. Задачи математического содержания на основе народных сказок. Некоторые задачи русских писателей.

К а т я К н и ж к и н а: «Ребята, мы с вами отправляем ся тропинкой с математикой во времени и начинаем свое путешествие с математических задач загадок античных времен. В занимательной математической литературе © НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by я нашла много интересного и сейчас вас с этим материа лом познакомлю.

Во времена античности большой популярностью поль зовались задачи загадки. В Древней Греции были рас пространены многочисленные виды загадок: числовые, буквенные, загадки с рисунками и др., а также составля лись сборники задач. В VIII в. до н. э. наибольшей попу лярностью пользовался сборник задач «Греческой анто логии», составленный в стихотворной форме, в котором были написаны и знаменитые поэмы Гомера «Илиада»

и «Одиссея».

В основе многих задач, составленных математиками Древней Греции, часто лежали легенды и мифы — исто рии из жизни богов. Приведу примеры таких задач.

Собрались однажды на Олимпе боги, и Геракл, сын богини Земли Геры, рассказал им о состязании в стрель бе из лука с самым метким богом стрелком Евритом и кентавром Хироном, от которого произошло созвездие Стрельца.

«Было у нас полторы дюжины стрел (дюжина равна 12). Каждому досталось по 6 стрел. Мы их пометили и начали соревнование. Еврит первой стрелой выбил 3 очка. Мне повезло больше: 2 стрелы — и сразу 22 очка.

Когда мы закончили выпускать свои стрелы, то оказа лось, что каждый из нас набрал поровну, по 71 очку.

И тогда мы решили, что победителем будет тот, кто сделал самый удачный выстрел — 50 очков, т. е. попал в центр мишени. Угадайте, кто выиграл это соревно вание».

Если вы затрудняетесь ответить, то предлагаю реше ние задачи.

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by Думали боги, думали, но не смогли назвать победите ля. И тогда Геракл выписал молнией на скале очки Еври та, Хирона и свои. У него получилась следующая запись:

Если Гераклу первые 2 выстрела принесли 22 очка, то его достижениям соответствует первый ряд чисел. Ведь только там можно набрать столько очков двумя выстре лами, если попадешь в 20 и 2.

Но тогда первый выстрел, который принес Евриту всего 3 очка, может относиться только к третьему набору чисел: ведь первый то уже «забрал» себе Геракл! Таким образом, вторая строка соответствует выстрелам Хиро на. Получается, что в третьей строке находится и высшее достижение этого состязания — 50 очков. Значит, побе дил Еврит: он сделал самый точный выстрел!

Предлагаю еще одну задачу.

Самым искусным кузнецом и мастером всех ремесел в Греции был бог Гефест. Чего только не делал Гефест умелец! Для колхидского царя вырыл он под виноград ной лозой четыре чудесных источника, в которых не пе реводились молоко, вино, масло и вода; Ахиллу сковал прекрасное оружие и замечательный щит. А на этот раз Зевс приказал ему изготовить для каждого из двенадца ти богов по три волшебные амфоры: одну — для лектора, одну — для амброзии и одну — для благовоний. Чтобы достать металл для изготовления этих амфор, Зевс от правил гонцов в разные концы света. И через три года © НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by странствий и подвигов возвратились посланцы и при везли ровно три дюжины больших кусков металла.

«Сколько кусков, столько должно быть и амфор», — ска зал Зевс Гефесту. Гефест лишь улыбнулся в ответ, ведь во время изготовления амфоры на станке остается стружка. Из стружки, оставшейся после 6 амфор, можно выплавить новый слиток металла, которого хватит на новую амфору.

Подскажите Зевсу, сколько амфор может сделать бог кузнец Гефест из 36 привезенных ему кусков драгоцен ного металла?»

В а с я З а д а ч к и н: «Если вы не справились само стоятельно с решением, то предлагаю разобраться в мо ем решении.

У Гефеста было 36 кусков металла. Из каждых 6 кус ков Гефест выплавляет 6 амфор (по амфоре из куска), а из оставшейся после выплавки стружки — еще одну амфору. Таким образом, из 36 кусков можно сделать до полнительно еще 6 амфор (36 : 6 = 6). Но стружки, кото рая останется после этих 6 амфор, хватит еще на одну новую амфору. Значит, Гефест выточил 43 амфоры (36 + + 6 + 1 = 43), 36 — для богов, а 7, сделанных им дополни тельно из стружки, Зевс оставил ему в подарок.

Ответ: 43».

К а т я К н и ж к и н а: «А теперь я познакомлю вас с задачами математического содержания на основе на родных сказок.

Во времена античности многие задачи составлялись на основе народных сказок. Вы также можете составить такие задачи, выбрав за основу сказочный сюжет или сказочных героев. Приведу некоторые примеры задач на основе народных сказок.

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by Крестьянин пришел к царю и попросил: «Царь, по зволь мне взять из твоего сада одно яблоко». Царь ска зал: «Мой сад огорожен тремя заборами. В каждом забо ре есть только одни ворота и около каждых ворот стоит сторож. Если скажешь, сколько яблок нужно тебе взять, чтобы выполнить следующее условие: первому сторожу отдать половину яблок, которые возьмешь, и еще одно яблоко; второму сторожу отдашь половину из тех, что остались, и еще одно; третьему сторожу отдашь полови ну из того, что осталось, и еще одно яблоко, а тебе, чтобы осталось только одно яблоко, то я разрешу тебе пойти в сад». Крестьянин подумал немного и ответил царю.

Царь разрешил крестьянину пойти в сад. Какое число назвал крестьянин?»

П е т я В о п р о с о в: «Ребята, попробуйте решить эту задачу сами, а если не справитесь, то Вася поможет вам».

В а с я З а д а ч к и н: «Предлагаю вам свое решение.

Заметим, что одно яблоко останется у крестьянина по сле того, как он отдаст третьему сторожу половину какого то числа яблок и еще одно. Значит, (1 + 1) 2 = 4 (яблока) — было перед тем, как отдать треть ему сторожу, или после того, как отдал второму сторожу;

(4 + 1) 2 = 10 (яблок) — было перед тем, как отдать вто рому сторожу, или после того, как отдал первому сторожу;

(10 + 1) 2 = 22 (яблока) — было перед тем, как отдать первому сторожу, или нужно было взять из сада.

Подставляя полученный ответ в условие задачи, про веряем его. Можно записать решение задачи числовым выражением (((1 + 1) 2 + 1) 2 + 1) 2, значение которо го равно 22.

Ответ: 22 яблока» [11].

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by К а т я К н и ж к и н а: «Дедка вдвое сильнее бабки, бабка втрое сильнее внучки, внучка вчетверо сильнее Жучки, Жучка впятеро сильнее кошки, кошка вшестеро сильнее мышки. Дедка, бабка, внучка, Жучка и кошка вместе с мышкой могут вытащить репку, а без мышки — не могут. Сколько надо позвать мышек, чтобы они смог ли сами вытащить репку?»

В а с я З а д а ч к и н: «Я предлагаю решить эту задачу так.

Кошка заменяет 6 мышек. Жучка заменяет 5 6 мышек.

Внучка заменяет 4 5 6 мышек. Бабка заменяет 3 4 мышек. Дедка заменяет 2 3 4 5 6 мышек. Итого по + (5 6) + 6 + 1 = 1237 мышек.

Ответ: 1237 мышек».

П е т я В о п р о с о в: «Я тоже хочу предложить вам за дачу.

В дремучем Муромском лесу из под земли бьют де сять источников мертвой воды — от № 1 до № 10. Из первых девяти источников мертвую воду может взять каждый, но источник № 10 находится в пещере Кощея, в которую никто, кроме самого Кощея, попасть не может.

На вкус и цвет мертвая вода ничем не отличается от обыкновенной, однако если человек попьет из какого нибудь источника, он умрет. Спасти его может только одно: если он запьет ядом из источника, номер которого больше. Например, если он попьет из седьмого источни ка, то ему надо обязательно запить ядом № 8, 9 или 10.

Если он выпьет не седьмой яд, а девятый, ему может по мочь только № 10. А если он выпьет сразу десятый яд, то ему ничто не поможет.

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by Иванушка дурачок вызвал Кощея на дуэль. Условия дуэли были такие: каждый приносит с собой кружку с жидкостью и дает ее выпить своему противнику. Ко щей обрадовался: «Ура! Я дам яд № 10, и Иванушка ду рачок не сможет спастись! А сам выпью яд, который Иванушка дурачок мне принесет, запью его своим деся тым и спасусь!»

В назначенный день оба противника встретились в условленном месте. Они честно обменялись кружками и выпили то, что в них было. Каковы же были радость и удивление обитателей Муромского леса, когда оказа лось, что Кощей умер, а Иванушка дурачок остался жив!

Только Василиса Премудрая догадалась, как удалось Иванушке победить Кощея. Попробуйте догадаться и вы.

А если у вас возникнут проблемы, то Вася и Катя вам помогут».

«В зависимости от того, когда выпит яд, он может слу жить и ядом, и противоядием. Иванушка дал Кощею обыкновенной воды, поэтому яд № 10, выпитый Кощеем как противоядие, подействовал как яд.

Перед тем как выпить яд № 10, который дал Кощей, Иванушка выпил любой другой яд, поэтому Кощеев яд стал противоядием».

К а т я К н и ж к и н а: «Попробуйте самостоятельно ре шить еще одну задачу.

Жили были Незнайка и семь его друзей коротышек.

Однажды он на День рождения приготовил квадратный пирог и пошел за соком. Пришел первый коротышка, раз резал пирог на четыре квадратных куска и пошел искать Незнайку. Потом пришел второй коротышка и разрезал © НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by один квадратный кусок пирога на четыре квадратных куска и пошел искать остальных. Потом пришел третий коротышка и опять разрезал один квадратный кусок пи рога на четыре квадратных куска и пошел искать осталь ных. То же самое проделали все остальные коротышки.

Сколько квадратных кусков пирога лежало на столе после ухода последнего коротышки?»

В а с я З а д а ч к и н: «Я уже решил задачу:

Каждый коротышка резал один квадратный кусок пи рога, а оставлял 4, т. е. добавлял 3 квадратных куска пи рога. Следовательно, после ухода седьмого коротышки на стуле будет лежать 1 + (3 7) = 22 квадратных куска пирога.

Ответ: 22 квадратных куска пирога».

К а т я К н и ж к и н а: «Собрался Иван царевич на бой со Змеем Горынычем, трехглавым и треххвостым.

— Вот тебе меч кладенец, — сказала царевичу Баба яга. — Одним ударом ты можешь срубить Змею либо го лову, либо две головы, либо один хвост, либо два хвоста.

Запомни: срубишь голову — новая вырастет; срубишь хвост — два новых вырастут; срубишь два хвоста — голо ва вырастет; срубишь две головы — ничего не вырастет.

За какое наименьшее число ударов Иван царевич мо жет срубить Змею Горынычу все головы и все хвосты?!»

В а с я З а д а ч к и н: «Ребята, давайте решать задачу вместе.

Иван царевич может срубить Змею Горынычу все го ловы и все хвосты за 9 ударов. Первыми тремя ударами он срубит по одному хвосту за каждый удар — останутся три головы и шесть хвостов. Вторыми тремя ударами он © НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by срубит по два хвоста за каждый удар — останется шесть голов. Последними тремя ударами он срубит по две го ловы за каждый удар — ничего не останется.

Давайте подумаем, может ли Иван царевич побе дить Змея Горыныча, нанеся меньше или больше чем 9 ударов.

При большем количестве ударов, конечно же, может.

Пока есть хотя бы одна голова, Иван царевич может сколько угодно раз отрубать Змею одну голову. Вид Змея при этом не изменится, а число ударов может быть любым. А вот ударив меньше чем 9 раз, убить Змея не возможно. Последним ударом Иван царевич должен срубить две головы (это единственный удар, после кото рого ничего не вырастет). Значит, нужно действовать так, чтобы нечетное число голов (три головы у Змея уже есть) стало четным числом. Голову можно получить, срубая два хвоста. Значит, надо сделать так, чтобы общее число хвостов было четное и при делении на 2 давало не четное число, т. е. как минимум у Змея должно быть шесть хвостов. Три хвоста уже есть — надо добавить еще три. Единственная возможность добавить хвост — отру бить один хвост, тогда вырастут два хвоста. Значит, надо отрубать по одному хвосту 3 раза. Всего хвостов станет шесть. Затем еще тремя ударами отрубить по два хвоста.

Хвостов не останется. Но прибавятся три головы. А все го голов станет шесть. Последними тремя ударами нуж но отрубить по две головы. Следовательно, предложен ный нами способ действительно самый короткий.

Ответ: 9 ударов».

К а т я К н и ж к и н а: «В Волшебной стране свои вол шебные законы природы, один из которых гласит: «Ко © НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by вер самолет будет летать только тогда, когда имеет пря моугольную форму».

У Ивана царевича был ковер самолет размером 9 12.

Как то раз Змей Горыныч подрался и отрезал от этого ковра маленький коврик размером 1 8. Иван Царевич очень расстроился и хотел было отрезать еще кусочек 1 4, чтобы получился прямоугольник 8 12, но Васи лиса Премудрая предложила поступить по другому. Она разрезала ковер на три части, из которых волшебными нитками сшили квадратный ковер самолет размером 10 10. Сможете ли вы догадаться, как Василиса Пре мудрая переделала испорченный ковер?»

К а т я К н и ж к и н а: «Сейчас я предлагаю вам не сколько простых задач.

1. Баба яга принесла на обед Кощею Бессмертному 33 летучие мыши. Он съел ровно на 13 мышей больше, чем осталось. Сколько мышей съел Кощей?

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by 2. Илья Муромец вместе с конем весит 720 кг. Сколь ко весит Илья, если конь без Ильи весит в 5 раз больше, чем Илья без коня?

3. В сказке «Маугли» удав Каа с Маули на спине про плыл по течению реки 72 км со скоростью 42, назад — за 3 часа. Найдите скорость реки».

В а с я З а д а ч к и н: «Предлагаю вам свои решения этих задач.

1. Вычтя из 33 число 13, мы узнаем, сколько нужно мышей, чтобы осталось столько же, сколько он съел, т. е.

20 мышей. Разделив на 2, получим, сколько осталось, — 10. Тогда он съел на 13 больше, т. е. 23.

Ответ: 23 мыши.

2. Вес Ильи — 1 часть, вес коня — 5 частей. Всего 6 час тей. 720 : 6 = 120.

Ответ: 120.

3. Следует найди скорость против течения. Всего Каа проплыл 72 км. Значит, скорость против течения 72 : 3 = = 24 Разность скоростей по течению и против тече ния — а против течения отнимала 9. Скорость реки равна Ответ: 9 ».

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by 1. У трех граций было одинаковое число плодов, и, встретив девять муз, каждая грация отдала каждой из них по одинаковому числу плодов. После этого у каждой из муз и каждой из граций стало по одинаковому числу плодов. Сколько плодов было у каждой из граций до встречи с музами?

2. «Помогу тебе, Иван, найти Василису Прекрас ную, — сказала Баба яга. — По душе ты мне пришелся.

Вот тебе волшебный клубок. Он приведет тебя к вол шебному камню. От этого камня идут три дороги: на од ной из них ты встретишь свою смерть, на другой с тобой ничего не случится, третья дорога приведет тебя к Васи лисе Прекрасной. Но учти, что все три записи на камне неверные — сделаны Кощеем Бессмертным». Бросил Иван клубок на землю. Покатился он, а Иван за ним.

Долго ли, коротко ли шел Иван, но пришел он к огром ному камню. На камне написано: «Пойдешь налево — встретишь свою смерть», «Пойдешь направо — вызво лишь из неволи Василису Прекрасную», «Пойдешь пря мо — с тобой что то случится». Помогите ему вызволить Василису Прекрасную.

3. По тропинке вдоль кустов Шло одиннадцать хвостов.

Сосчитать я также смог, Что шагало тридцать ног.

Это вместе шли куда то Петухи и поросята.

А теперь вопрос таков:

Сколько было петухов?

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by Сколько было поросят?

4. Шли семь старцев.

У каждого старца по семи костылей, На всяком костыле по семи сучков, На каждом сучке по семи кошелей, В каждом кошеле по семи пирогов, А в каждом пироге по семи воробьев.

Задачи 5 и 6 из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого.

5. Собака заметила зайца в 150 саженях от себя. Заяц пробегает за 2 минуты 500 саженей, а собака — за 5 ми нут 1300 саженей. За какое время собака догонит зайца?

6. На мельнице имеется 3 жернова. На первом из них за сутки можно смолоть 60 четвертей зерна, на втором — 54 четверти, а на третьем — 48 четвертей. Некто хочет смолоть 81 четверть зерна за наименьшее время на этих трех жерновах. За какое наименьшее время можно смо лоть зерно и сколько для этого на каждый жернов надо зерна насыпать?

7. Решите следующие задачи из рукописи «Задачи для изощрения ума юношества».

а) Собака гонится за кроликом, который находится впереди нее в 150 футах, и при каждом прыжке делает 9 футов, в то время как кролик прыгает на 7 футов. За сколько прыжков собака догонит кролика?

б) Через реку надо перевезти волка, козу и кочан ка пусты. На лодке, кроме перевозчика, может поместиться только один из трех. Как их перевезти, если волк хочет съесть козу, а коза — капусту?

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by 8. Решите две задачи из XII главы «Книги абака», свидетельствующие о связях математики Востока и За пада. Первая задача ранее встречается у средневосточ ного математика Ибн ал Хайсама (X—XI вв.), вторая — в китайских рукописях.

а) Найдите числа, кратные 7 и дающие в остатке от де ления на 2, 3, 4, 5, 6 единицу.

б) Найдите число, при делении на 3, 5, 7 дающее соот ветственно остатки 2, 3, 2.

9. Решите задачу из средневековых русских рукописей.

Идет семь баб, У всякой бабы по семи посохов, На всяком посохе по семи сучков, На всяком сучку по семи кошелей, Во всяком кошеле по семи пирогов, Во всяком пироге по семи воробьев, Во всяком воробье по семи пупков.

Сколько всего баб, посохов, сучков, кошелей, пиро гов, воробьев и пупков?

10. Составьте сами задачу, аналогичную предыдущей, положив в основу числа: а) 5; б) 10; в) 12.

Решите некоторые задачи, опубликованные в «Арифме тике» Л. Ф. Магницкого.

11. а) В жаркий день 6 косцов выпили бочонок кваса за 8 часов. Нужно узнать, сколько косцов за три часа вы пьют такой же бочонок кваса.

б) Говорит дед внукам: «Вот вам 130 орехов. Раздели те их на две части так, чтобы меньшая часть, увеличен ная в 4 раза, равнялась бы большей части, уменьшенной в три раза». Как разделить орехи?

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by в) Идет один человек в другой город и проходит в день 40 верст, а другой человек идет навстречу ему из другого города и в день проходит по 30 верст. Расстояние между городами 700 верст. Через сколько дней путники встре тятся?

12. Один человек купил три курицы и заплатил за них 46 копеек. Первая курица несла по три яйца через 4 дня, вторая — по 2 яйца через 3 дня, а третья — по 1 яйцу че рез 2 дня. Продавал он яйца по 5 штук за полкопейки. За какое время окупятся куры?

13. Путешественник идет из одного города в другой 10 дней, а второй путешественник тот же путь проходит за 15 дней. Через сколько дней встретятся путешествен ники, если выйдут одновременно навстречу друг другу из этих городов?

14. 5 волов и 3 барана стоят 13 золотых монет, 2 вола и 8 баранов стоят 12 золотых монет. Сколько стоит 1 вол и 1 баран?

В а с я З а д а ч к и н: «Многие русские писатели с удо вольствием изучали математику и даже включали мате матические задачи в свои литературные произведения.

Рассмотрим некоторые из них».

15. Задача из «Азбуки» Л. Н. Толстого. Пять братьев разделили после отца наследство поровну. В наследстве было три дома. Три дома нельзя было делить, их взяли старшие три брата. А меньшим зато выделили деньги.

Каждый из старших заплатил по 800 рублей меньшим.

Меньшие разделили эти деньги между собою и тогда у всех 5 братьев стало поровну.

Много ли стоили дома?

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by 16. Задача из рассказа А. П. Чехова «Репетитор».

Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого сукна, если синее сукно стоило 5 руб. за ар шин, а черное — 3 руб.

Решите задачи (из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого).

17. Задача о хождении юношей.

Некий юноша пошел с Москвы к Вологде. А идет не всякий день по 40 верст. А другой пошел после него на другой день. И идет не всякий день по 45 верст. Через сколько дней второй юноша постиг прежнего юношу?

18. Один воин вышел из города и проходил по 12 верст в день, а другой вышел одновременно и шел таким обра зом: в первый день прошел 1 версту, во второй день — 2 версты, в третий день — 3 версты, в четвертый — 4 вер сты, в пятый — 5 верст и так прибавлял каждый день по одной версте, пока не настиг первого.

Через сколько дней второй воин настигнет первого?

19. Пошел охотник на охоту с собакой. Идут они лесом, и вдруг собака увидела зайца. За сколько прыжков соба ка догонит зайца, если расстояние, которое пробегает со бака до зайца, равно 40 прыжков, и расстояние, которое пробегает собака за 5 прыжков, заяц пробегает за 6 прыж ков? (В задаче подразумевается, что прыжки делаются одновременно и зайцем, и собакой.) 20. Задача А. Н. Страннолюбского. Некто на вопрос о возрасте двух его сыновей отвечал: «Первый мой сын втрое старше второго, а обоим им вместе столько лет, сколько было мне 29 лет назад; мне теперь 45 лет». Най дите лета обоих сыновей.

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by Тема 7 геометрическое путешествие Занятия 1—6. Геометрические путешествия. Задачи на вычерчивание фигур без отрыва карандаша от бумаги.

Задачи на разрезание. Простейшие многогранники (прямоугольный параллелепипед, куб), изготовление моделей простейших многогранников. Простейшие за дачи прикладного характера. Геометрические соревно вания.

К а т я К н и ж к и н а: «Геометрия — одна из самых древних наук на Земле. Название «геометрия» древ негреческого происхождения и составлено из двух слов ge, что означает «Земля», и metreo — «измеряю». Таким образом, геометрия — наука о землемерии. Первые гео метрические факты, дошедшие до нас, встречаются в еги петских папирусах и в вавилонских клинописных до щечках. Возникновение и развитие науки «Геометрия»

связано с практической деятельностью человека, и по этому многие геометрические термины и названия фигур связаны с конкретными предметами. Например, термин «линия» происходит от латинского linum, что означает «лен», «льняная веревка». Древнегреческий историк Геродот, живший в V в. до н. э., написал о зарождении геометрии в Древнем Египте (около 2 тыс. лет до н. э.) следующее: «Сезоострис, египетский фараон, разделил землю, дав каждому египтянину участок по жребию и взымал соответствующим образом налог с каждого участка. Случалось, что Нил заливал тот или иной уча сток, тогда пострадавший обращался к царю, а царь по сылал землемеров, чтобы установить, на сколько умень шился участок, и соответствующим образом уменьшить © НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by налог. Так возникла геометрия в Египте, а оттуда пере шла в Грецию».

Еще в древности развивались ремесла, торговля, зем леделие и строительство. Все это требовало знаний свойств геометрических фигур и умения измерять и вы числять площади и объемы различных тел и фигур.

Таким образом, шло постоянное развитие науки «Гео метрия».

Древнегреческий ученый Евклид в III в. до н. э. напи сал книгу «Начала», в которой он подытожил весь нако пленный к тому времени геометрический материал.

В ней так хорошо был представлен геометрический ма териал, что ее переводы или незначительные ее перера ботки на протяжении 2 тыс. лет использовались во всем мире в качестве учебников по геометрии. Современные школьные учебники, по которым вы будете изучать гео метрию, также содержат переработанный геометриче ский материал из «Начал» Евклида.

Свое знакомство с геометрией мы начнем с интерес ных занимательных заданий».

П е т я В о п р о с о в: «Сколько прямоугольников вы видите на рисунке?»

В а с я З а д а ч к и н: «Не спешите с ответом. Обрати те внимание на то, что спрашивается не о числе квадра тов (хотя квадрат это прямоугольник, у которого все © НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by стороны равны), а о числе прямоугольников. В задании ничего не говорится об их размерах, поэтому посчитайте общее количество прямоугольников, которые не явля ются квадратами. Чтобы не потерять ни одного прямо угольника, выберите для себя систему подсчета».

П е т я В о п р о с о в: «Сколько вы можете насчитать на шахматной доске различно расположенных квадратов?»

В а с я З а д а ч к и н: «Подсказка. Шахматная доска содержит 64 маленькие клеточки.

В этом задании нужно посчитывать количество лю бых квадратов, расположенных на шахматной доске».

К а т я К н и ж к и н а: «У меня тоже есть несколько интересных заданий.

1. Возьмите небольшой прямоугольный лист бумаги и ножницы. Сколько прямолинейных разрезов надо сде лать, чтобы получить четыре куска? Чтобы получить 12 кусков? Складывать бумагу и разрезать одновремен но два куска не разрешается.

2. У крышки стола 4 угла. Сколько будет углов у крыш ки, если один из углов отпилить?

3. Сколько разных треугольников изображено на каж дом из рисунков?

4. Две лестницы, имеющие одинаковую высоту и ос нование, покрыты ковровыми дорожками. Одинаковой ли длины эти дорожки, если одна лестница состоит из © НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by 4 ступеней, а другая — из 8 ступеней? Вычислите длины дорожек, если высота лестницы равна 1 м, а основание ее — 2 м».

П е т я В о п р о с о в: «Предлагаю ребятам две задачи о прямоугольниках и одну о квадрате.

1. Из трех одинаковых прямоугольников, у каждого из которых длины сторон соответственно равны 3 см и 2 см, составьте и изобразите фигуру с периметром 22 см. Какой будет площадь этой фигуры?

2. Из восьми одинаковых прямоугольников, длины сторон которых соответственно равны 3 см и 2 см, со ставьте и изобразите фигуру с периметром 34 см. Опре делите площадь полученной фигуры.

3. Какую часть квадратного метра составляет квадрат со стороной полметра?»

В а с я З а д а ч к и н: «Я с ребятами предлагаю вам ин тересные задачи на разрезание.

1. Разрежьте данную фигуру на две равные части.

2. Разделите фигуру, изображенную на рисунке, на четыре равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам квадратов. Придумайте два способа решения.

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by 3. Разрежьте фигуры, изображенные на рисунке, на две равные части по линиям сетки так, чтобы в каждой из частей был кружок.

4. Разрежьте фигуры, изображенные на рисунке, на четыре равные части по линиям сетки так, чтобы в каж дой из частей был кружок.

5. На клетчатой бумаге нарисован квадрат размером 5 5 клеток. Придумайте, как разрезать его по линиям сетки на 7 различных прямоугольников.

6. Разделите квадрат размером 4 4 клетки на две равные части так, чтобы линия разрезов шла по сторо нам клеток. Найдите все возможные способы решения.

(Фигуры, получившиеся при разных способах разреза ния, должны быть разными.) © НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by 7. Разделите фигуры, изображенные на рисунке, на две равные части. (Разрезать можно не только по сторо нам клеток, но и по их диагоналям.) 8. Разрежьте фигуру, изображенную на рисунке, на четыре равные части. (Разрезать можно не только по сторонам клеток, но и по их диагоналям.) 9. Разделите квадрат размером 6 6 клеток, изобра женный на рисунке, на четыре одинаковые части так, чтобы каждая из них содержала три закрашенные клет ки. (Разрезать можно только по линиям сетки.)»

К а т я К н и ж к и н а: «У меня для ребят тоже есть две интересные задачи.

10. Основание Карфагена Об основании древнего города Карфагена существует следующее предание. Дидона, дочь тирского царя, поте © НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by ряв мужа, убитого рукой ее брата, бежала в Африку и высадилась со многими жителями Тира на ее северном берегу. Здесь она купила у нумидийского царя столько земли, «сколько занимает воловья шкура». Когда сделка состоялась, Дидона разрезала воловью шкуру на тонкие ремешки и благодаря такой уловке охватила участок земли, достаточный для сооружения крепости. Так буд то бы возникла крепость Карфаген, к которой впослед ствии был пристроен город.

Попробуйте вычислить, какую площадь могла, со гласно этому преданию, занять крепость, если считать, что воловья шкура имеет поверхность 4 кв. м, а ширину ремешков, на которые Дидона ее разрезала, принять рав ной 1 мм.

11. Квадрат со стороной 20 см разрезали на квадрати ки со стороной 1 см. Прикладывая получившиеся квад ратики друг к другу, получили полоску шириной 1 см.

Найдите длину этой полосы».

В а с я З а д а ч к и н: «Сейчас будем решать интерес ные задачи с использованием спичек.

Для решения этих задач нужна коробка со спичками или счетными палочками [11, 17].

1. Положите 3 спички на стол так, чтобы их головки не касались поверхности стола и друг друга.

2. Двенадцать спичек выложены так, как показано на рисунке. Сколько здесь квадратов? Выполните следую щие задания:

а) уберите 2 спички так, чтобы образовалось 2 нерав ных квадрата;

б) переложите 3 спички так, чтобы образовалось 3 рав ных квадрата;

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by в) переложите 4 спички так, чтобы образовалось 10 квадратов.

3. Двадцать четыре спички выложены так, как показа но на рисунке.

Сколько здесь квадратов? Выполните следующие за дания:

а) уберите 4 спички так, чтобы образовалось 5 равных квадратов;

б) уберите 6 спичек так, чтобы образовалось 5 равных квадратов;

в) переложите 12 спичек так, чтобы образовалось 2 рав ных квадрата;

г) уберите 8 спичек так, чтобы образовалось 4 равных квадрата;

д) уберите 8 спичек так, чтобы образовалось 3 квадрата;

е) уберите 8 спичек так, чтобы образовалось 2 квадрата.

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by 4. Сделайте из 5 спичек 5 одинаковых треугольников и 1 пятиугольник.

5. Переложите 3 спички так, чтобы стрела поменяла направление на противоположное.

6. Из 10 спичек составьте 3 квадрата двумя спосо бами.

7. Переложите 4 спички так, чтобы получилось 15 квад ратов.

8. Из спичек составлено неверное равенство (см. ри сунок). Переставьте одну спичку так, чтобы равенство стало верным.

9. В трех кучках лежат спички, по 10 спичек в каждой.

Играют Аня и Вова. Игрок забирает несколько спичек, но только из какой либо одной кучки. Начинает Аня.

Побеждает тот, кому достанется последняя спичка. Мо жет ли кто нибудь из игроков играть так, чтобы навер няка выиграть, как бы ни старался другой?

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by 10. Задание П е т и В о п р о с о в а: «48 спичек разло жены на три неравные кучки. Если из первой кучки пе реложить во вторую столько спичек, сколько в этой вто рой кучке имелось, затем из второй в третью переложить столько, сколько в этой третьей перед тем будет нахо диться, и из третьей переложить в первую столько спи чек, сколько в этой первой кучке будет тогда иметься, то спичек во всех кучках станет одинаковое количество.

Сколько спичек было в каждой кучке первоначально?»

В а с я З а д а ч к и н: «Ребята, попробуйте самостоя тельно решить это задание, используя указание.

Указание. Рассмотрите процесс перекладывания спичек “с конца”».

П е т я В о п р о с о в: «Если есть проблемы с решени ем задания, предлагаю свое решение. Так как 48 спичек оказались разложены в 3 равные кучки, то в этих кучках было по 48 : 3 = 16 (спичек). Рассмотрим процесс пере кладывания спичек «с конца».

1. Из третьей переложить в первую столько спичек, сколько в этой первой кучке будет тогда иметься, — в первой кучке стало 16 спичек, притом что добавили в нее столько, сколько там на тот момент было. Значит, в первой кучке на предыдущем шаге стало 16 : 2 = 8 (спи чек), а в третьей — 16 + 8 = 24 (спички).

2. Из второй в третью переложить столько, сколько в этой третьей перед тем будет находиться, — в третьей кучке стало 24 спички, притом что добавили в нее столь ко, сколько там на тот момент было. Значит, в третьей кучке на предыдущем шаге стало 24 : 2 = 12 (спичек), а во второй — 16 + 12 = 28 (спичек). В первой кучке пока 8 спичек.

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by 3. И наконец из первой кучки переложить во вторую столько спичек, сколько в этой второй кучке имелось, — во второй кучке стало 28 спичек, притом что добавили в нее столько, сколько там на тот момент было. Значит, во второй кучке изначально было 28 : 2 = 14 (спичек), а в первой — 8 + 14 = 22 (спички). В третьей кучке 12 спичек.

Ответ: 22, 14 и 12 спичек было в кучках первоначально».

К а т я К н и ж к и н а: «В следующей задаче нужно хо рошенько подумать.

11. Расположите 6 спичек так, чтобы получилось 4 тре угольника».

Задачи Васи Задачкина на вычерчивание фигур без отрыва карандаша от бумаги 1. Какие из следующих фигур можно вычертить, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя два раза по одной и той же линии? [17] © НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by 2. Можно ли из целого куска проволоки сделать дан ную фигуру?

3. Считая, что перед вами план некоторого парка, вы берите ту точку, из которой можно пройти по всем до рожкам парка и притом только по одному разу.

4. Перед вами план некоторого участка города. Вы на ходитесь в точке А и вам необходимо пройти по всем улицам, изображенным на плане, и вернуться в точку А.

Возможно ли это сделать?

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by 5. Попытайтесь нарисовать одним росчерком каждую из следующих семи фигур. Помните требования: начер тить все линии заданной фигуры, не отрывая карандаша от бумаги, не делая никаких лишних штрихов и не про водя дважды ни одной линии.

6. Начертите одним росчерком следующие фигуры:

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by П е т я В о п р о с о в: «Вы часто играли в детские игры, где ходы производились в соответствии с количеством точек, которые выпали на брошенном вами кубике. Иг ральный кубик — это куб, на поверхность которого нане сены точки. Вы помните, что на каждой из поверхностей кубика свое количество точек от одной до шести. Обрати те внимание, что суммы очков (точек) на противополож ных гранях кубика равны семи. А знаете, почему для игры удобно использовать именно куб. Потому что когда мы бросаем игральный кубик, то для всех граней обеспечива ются равные возможности оказаться верхней. Такие же возможности будут и у других пяти видов фигур, которые являются правильными многогранниками, но куб легче изготовить и при бросании он покатится лучше. Эти мно гогранники вы будете изучать в старших классах. А пока вам известен только один из них — куб, или гексаэдр».

1. На рисунках показаны развертка и изображения кубиков. Какие из них могут соответствовать играль ным кубикам?

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by 2. Выберите кубик, соответствующий данной раз вертке.

3. Из фигур на рисунке к задаче выберите те, которые являются развертками куба. Начертите разверстку куба со стороной 5 см на листе плотной бумаги. Вырежьте, ос тавляя полоски для склеивания, выкройку и склейте куб.

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by 4. Имеется лист цветной бумаги прямоугольной фор мы. Ширина листа 10 см, а длина 12 см. Хватит ли этой бумаги для оклеивания куба, который у вас получился в предыдущем задании?

5. Представьте, что модель куба нужно было сделать из проволоки. Какой длины проволока понадобилась бы для изготовления куба с ребром 5 см?

6. Дан куб с ребром 5 см. Какое будет кратчайшее рас стояние по поверхности куба от одной вершины до про тивоположной?

Подсказка. Можно воспользоваться моделью изготовлен ного куба.

7. Начертите развертку данного прямоугольного па раллелепипеда с длиной 4 см, шириной 2 см и высотой 3 см. На данном чертеже и на построенной развертке (верхнюю и переднюю грани на развертке начертите со седними) покажите кратчайшее расстояние от А до В.

8. Комната имеет форму куба. В верхнем углу, у по толка, сидит паук, а в противоположном углу внизу, у пола, — муха. Каким кратчайшим путем должен полз ти паук, чтобы добраться до мухи?

9. Имеются кубики с ребром (стороной) 1 см. Сколь ко нужно таких кубиков, чтобы из них сложить куб с реб ром 2 см?

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by 10. Имеются два кирпича обычной формы, сделанные из одного материала. Масса одного из них 5 кг. Какова масса другого кирпича, если все его размеры в 5 раз меньше?

11. Куб составлен из 8 одинаковых кубиков. Сравните объемы и площади поверхностей большого куба и 8 оди наковых кубиков.

12. Из одного и того же материала изготовлено четыре сплошных куба с различными ребрами: 6 см, 8 см, 10 см и 12 см. Надо разместить их на весах так, чтобы чашки были в равновесии. Какие кубы или какой куб положите вы на одну чашку весов и какие (или какой) — на другую?

13. Изображенные на рисунке тела состоят из кубиков.

Сколько кубиков в каждом из них?

14. На видимых гранях куба проставлены числа 1, 2 и 3, а на развертках — два из названных чисел или одно. Рас ставьте на развертках куба числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 так, чтобы сумма чисел на противоположных гранях была равна 7.

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by 15. Пунктирными линиями на рисунке обозначены не видимые ребра куба. Соответственно, сплошными ли ниями показаны видимые линии. Мы смотрели на куб справа сверху. На рисунках а), б), в) проведите сплош ные линии так, чтобы куб был виден:

а) справа снизу; б) слева сверху; в) слева снизу.

В а с я З а д а ч к и н: «Ребята, давайте поиграем в гео метрические игры головоломки. К таким играм относят ся «Танграм», «Волшебный круг», «Пентамино» и т. д.

В этих играх необходимо сложить силуэты из всех час тей, на которые разрезана данная фигура. Играть можно одному, а можно с друзьями, устроив соревнование меж ду командами. Побеждает тот, кто скорее составит пред лагаемую фигуру. Заготовки для проведения игры вы легко можете выполнить из цветного картона, используя рисунки в приложении.

«Танграм» — древняя китайская игра. Квадрат разре зается на пять прямоугольных треугольников разных размеров (два больших, один средний, два маленьких), квадрат, который может быть составлен из двух малень ких треугольников, и параллелограмм, площадь которо го равна площади квадрата. Задача играющих заключа ется в составлении различных силуэтов, обязательно из всех частей разрезанного квадрата. На рисунке в прило жении показано, как необходимо разрезать квадрат и ка кие фигуры из полученных частей нужно сложить.

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by «Волшебный круг». Круг делится на десять частей, как показано на рисунке в приложении. В составлении заданных фигур должны быть использованы все части круга.

В этих играх можно самим разработать интересные фигуры.

«Пентамино». Прямоугольник делится на 12 частей, как показано на рисунке в приложении. Из всех полу ченных частей необходимо составить представленные силуэты [9]».

Тема 8 обыкновенных дробей Занятия 1—4. Что мы знаем об обыкновенных дро бях? История возникновения обыкновенных дробей.

Занимательные истории об обыкновенных дробях.

Числа лилипуты. Различные способы вычисления с обыкновенными дробями. Занимательные задания по теме.

К а т я К н и ж к и н а: «Сегодня я расскажу вам об обыкновенных дробях. Мне удалось подобрать для вас в библиотеке много интересного материала.

Дроби появились в глубокой древности. Необходи мость в дробных числах возникла у человека при разде ле добычи, когда количество добытого не делилось наце ло на число охотников, а также при измерениях величин, когда результат измерения не удавалось выразить нату ральным числом. Таким образом, приходилось учиты вать части меры, и людям стали необходимы дроби.

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by В истории развития дробных чисел встречаются дроби трех видов:

1) единичные дроби или доли (дроби с числителем, равным 1);

2) систематические дроби (дроби, у которых числите лями могут быть числа любого вида, а знаменателями — только числа некоторого частного вида, например степе ни десяти или шестидесяти);

3) дроби общего вида (числители и знаменатели мо гут быть числами любого вида)».

П е т я В о п р о с о в: «Как же появились и развива лись обыкновенные дроби?»

К а т я К н и ж к и н а: «Все народы нашей планеты употребляли «половинки», «трети», «четвертушки» и т. д., причем у каждого народа для них были свои обозначе ния. Вслед за этим в разные эпохи и у разных народов стали появляться различные виды дробей. Первыми появились единичные дроби, у которых сначала были маленькие знаменатели, а затем и большие. Появились они в Древнем Египте, но дальше в развитии арифмети ки дробных чисел египтяне не пошли.

Древние египтяне уже знали, как разделить 2 предме та на троих. Для полученного числа у них был специ альный значок, это была единственная дробь в обиходе египетских писцов, у которой в числителе не стояла еди ница, — все остальные дроби непременно имели в числи теле единицу. Дроби вида, где n — натуральное число, называют египетскими (единичными или основными).

Если египтянину нужно было использовать другие дро © НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by би, он представлял их в виде суммы основных дробей.

Например, вместо П е т я В о п р о с о в: «Катя, как это стало известно?»

К а т я К н и ж к и н а: «Наши представления о том, как использовались дроби в Древнем Египте, основаны на содержании папирусного свитка, который называют папирусом Ринда (по имени обнаружившего его в 1858 г.

в Луксоре Генриха Ринде). Сейчас этот свиток находит ся в Лондоне. Автором папируса был Ахмес, записи да тированы 1650 г. до н. э. и содержат информацию о том, какие дроби использовались в Древнем Египте и как производили вычисления. Предположительно, этот па пирус является пособием, которое составил учитель для подготовки будущих придворных писцов. Ахмес в своей рукописи предлагал упражнения, головоломки, а также ясно изложенные решения».

В а с я З а д а ч к и н: «Я познакомлю вас с задачей из папируса Ахмеса.

Разделить 7 хлебов между 8 людьми.

Если резать каждый хлеб на 8 частей, а для этого нуж но сделать 7 разрезов, то всего для разрезания 7 хлебов придется провести 49 разрезов. Это очень неудобно».

К а т я К н и ж к и н а: «А египтяне эту задача решали так: дробь записывали в виде суммы основных дробей:

+ +. Значит, каждому человеку надо дать полхлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба, поэтому четыре хле ба разрезали пополам, два хлеба — на 4 части и один © НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by хлеб — на 8 частей, после чего каждому дали его часть.

Получилось, что нужно сделать всего 17 (4 + 6 + 7) раз резов. Мы видим, что египетский способ решения в не которых случаях удобен.

Египетские дроби складывать было неудобно, потому что при сложении двух одинаковых дробей появляется дробь вида, а таких дробей египтяне не допускали. Ко гда в результате получалась любая не основная дробь, ее заменяли суммой основных дробей, что было очень тру Поэтому египтяне составляли таблицы представления обыкновенных дробей в виде сумм основных, только знаки сложения не писали. Этот египетский способ мы тоже используем, когда записываем смешанное число.

Например, 3 мы записываем без знака «+». В древнем папирусе Ахмеса содержится таблица, в которой все дроби вида от до записаны в виде суммы единич ных дробей. Эти таблицы изготавливались для длитель ного применения, ими пользовались писцы и ученики, обучающиеся математике. В большинстве случаев для представления правильной дроби в виде суммы основ ных дробей достаточно уметь раскладывать в такую сум му дроби вида ».

П е т я В о п р о с о в: «Катя, было бы понятней, если все сказанное проиллюстрировать на примерах».

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by В а с я З а д а ч к и н: «Я покажу на примере, как мож но представить в виде суммы единичных дробей дробь, используя дроби вида.

тогда дробь можно представить:

Разложение произвольной дроби в сумму основных дробей не единственно.

Например, К а т я К н и ж к и н а: «Египтяне умели также умно жать и делить дроби. Но для умножения приходилось умножать доли на доли, а потом, возможно, опять ис пользовать таблицу. Еще сложнее обстояло дело с деле нием.

Египетские способы вычислений при помощи основ ных дробей перешли к грекам во времена Пифагора и ос тались в греческой истории в практической деятельно сти. Арабы переняли единичные дроби у греков, а от них единичные (основные или египетские) дроби попали в Европу».

В а с я З а д а ч к и н: «Современную систему записи дробей с числителем и знаменателем создали в Индии в первые века нашего летоисчисления. Только там писа © НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by ли знаменатель сверху, а числитель снизу и не писали дробной черты. А записывать дроби так, как записыва ются они сейчас, стали арабы. Индусы ввели современ ные правила действий над обыкновенными дробями. За тем эти правила стали использовать в Европе. Работать с обыкновенными дробями было трудно, поэтому гол ландский математик Симон Стевин предложил перейти к десятичным дробям, их вы будете изучать в 6 м классе».

К а т я К н и ж к и н а: «А сейчас рассмотрим следую щие полезные приемы умножения:

Умножение на 1,,, 1, 2, 75, 125 и т. д.

а) Чтобы умножить число на 1, достаточно к этому числу прибавить его половину.

Например:

б) Так как = 1 -, то для умножения числа на дос таточно из этого числа вычесть его четверть».

в) Чтобы число умножить на 75, нужно его умножить на 100, найти четвертую часть результата и отнять ее от этого результата (так как 75 = 100 (1 — ).

Например:

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by г) Так как 125 = 100 1 + то для умножения числа на 125 достаточно его умножить на 100 и прибавить чет верть полученного результата.

П е т я В о п р о с о в: «Катя, расскажи, пожалуйста, о числах лилипутах».

ных частей, то получим отрезок в 1 мм, он нам будет ка заться очень маленьким. Этот отрезок составляет отрезка в 1 см. Если теперь разделить этот отрезок опять на 10 равных частей, что сделать очень трудно, получим отрезок, в 10 раз меньший. Он будет составлять часть второго отрезка и часть первоначального. Длина это го отрезка очень маленькая, маленьким будет и число, выражающее длину этого отрезка. Если продолжить про цесс деления и, получая каждый раз в десять раз мень ший отрезок, делить его опять на десять равных частей, то длины полученных отрезков будут соответственно Эти числа очень малы, но они нужны и их используют не меньше, чем числа великаны. Например, в миллиметрах можно измерять толщину тетради или толщину листа картона. Но для измерения размеров бактерий милли метры не подойдут. Для этих целей используют микрон © НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by миллиметра. Микрон в 1000 раз меньше миллиметра.

Числа лилипуты встречаются не только при нахожде нии размеров. За время с звук распространяется на 33 см, а пуля, которая летит со скоростью 700 – 800, пролетит 70 см. Земной шар за это время перемещается вокруг Солнца на 30 м, а комар успевает взмахнуть ленькая, но для современных физиков с совсем не маленький промежуток. Например, световой луч 300 м Мы видим, что числа лилипуты очень востребованы.

Среди этих чисел есть свои великаны и карлики, напри вое из этих чисел в 1 000 000 000 раз больше другого и является великаном по отношению к нему, а второе число является карликом по отношению к первому».

Задача из «Азбуки» Л. Н. Толстого Капитан на вопрос, сколько имеет в команде своей людей, отвечал, что его команды в карауле, — в ра © НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by боте, — в лазарете да 27 — налицо. Спрашивается число людей его команды.

Решение.

занята.

цо, т. е. составляет 27 человек.

3. Значит, на часть команды приходится 3 че ловека.

4. 3 140 = 420 человек составляет всю команду.

Ответ: 420 человек.

1. Какие дроби использовали в Древнем Египте?

2. Как поступали египтяне, когда нужно было использо вать другие дроби, отличные от основных дробей?

3. Кто ввел современную систему записи дробей с числи телем и знаменателем?

4. Как усовершенствовали запись обыкновенных дробей арабы?

6. Может ли дробь, у которой числитель меньше знамена теля, равняться дроби, у которой числитель больше знамена теля?

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by 7. Назовите большее из чисел и меньшее из них:, 999 999 8. Какую часть микрон составляет от метра; от сантиметра;

от миллиметра?

9. Какую часть грамм составляет от килограмма; от тонны?

10. Как число умножить на 1, на 75, на 150?

1. Какую долю составляет лестница на второй этаж от лестницы на четвертый этаж этого же дома?

2. Что больше: или ?

3. Мальвина позаимствовала у Пьеро треть его яблок, а Буратино позаимствовал у Пьеро две пятых частей яб лок. Кто позаимствовал больше?

4. Бременские музыканты на привале сварили в ко телке картошку и уснули. Первым проснулся Осел и съел треть картошки. Вторым проснулся Пес, подумав, что проснулся первым, он тоже съел треть картошки. Затем проснулся Кот, подумав, что проснулся первым, съел треть остатка. В итоге в котелке остались 2 картофели ны. Сколько картофеля сварили бременские музыканты?

5. Никита взял у Василия учебник на 3 дня. В первый день он прочитал половину, во второй — треть от остав шихся страниц, а количество страниц, прочитанных в третий день, равнялось половине числа страниц, изу © НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by ченных за первые два дня. Успел ли Никита прочесть книгу?

6. Семь одинаковых батонов надо поровну разделить между двенадцатью лицами. Как это сделать, не разре зая каждый батон на 12 частей?

8. Что больше: от числа 25 или от числа 27?

9. Найдите устно произведение трех чисел, если первое число составляет от числа 77, второе число составляет от числа 60, а третье число составляет треть от 120.

10. Половина — треть некоторого числа. Какое это число?

11. Половина от половины числа равна половине. Ка кое это число?

12. Найдите число, одна треть плюс одна четверть ко торого составляют 21.

13. Найдите число, полтрети которого есть число 100.

14. Найдите число, если от него есть от числа 240.

15. Даны числа: и. Вставьте между ними 5 каких нибудь чисел так, чтобы они вместе с данными числами шли в порядке возрастания.

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by 16. Решите задачу, которая предлагалась учителем Древнего Египта: «Столько и еще четверть столько — вместе 15».

17. Какую дробь Ахмес записал + ?

18. Как записать дробь в виде суммы дробей с чис лителями 1 и разными знаменателями?

19. Задача из папируса Ринда: «Найдите число, если известно, что от прибавления к нему его и вычитания из полученной суммы ее трети получается число 10».

20. В выражении 1 : 2 : 3 : 4 : 5 : 6 : 7 : 8 : 9 расставьте, если нужно, скобки так, чтобы результат был: а) мини мальным; б) максимальным.

21. Напишите возможно меньшее натуральное число, пользуясь тремя двойками и знаками действий.

22. Три брата хотели купить новый дом. Условились, что первый даст половину, второй — треть, третий — шестую часть стоимости дома. Смогут ли братья купить дом?

23. Три девочки решили купить книгу. Условились, что первая девочка даст половину нужной суммы, вто рая — четвертую часть, а третья — третью часть. Смогут ли девочки купить книгу?

24. Трое рабочих копали колодец. Первый выкопал половину нужной глубины, второй — четвертую часть, третий — пятую часть. Смогли ли рабочие выкопать ко лодец нужной глубины?

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by 25. Эта задача насчитывает много сотен лет, но до сих пор поражает воображение своей красотой и неожидан ностью.

Три брата получили в наследство от отца 17 верблю дов. Старшему отец завещал половину стада, средне му — треть, а младшему — девятую часть. Братья пыта лись поделить наследство и выяснили, что старшему брату придется взять 8 верблюдов и кусок верблюда, среднему — 5 верблюдов и кусок верблюда, а младше му — верблюда и кусок верблюда. Естественно, разре зать верблюдов не хотелось никому, и братья решили по просить помощи у Мудреца, проезжавшего мимо них на верблюде. Мудрец спешился и присоединил своего верб люда к стаду братьев. От нового стада из 18 верблюдов Мудрец отделил половину — 9 верблюдов для старшего брата, затем треть — 6 верблюдов для среднего брата и наконец девятую часть — 2 верблюдов для младшего брата. После успешной дележки Мудрец сел на своего верблюда и продолжил путь. А братья стали думать, по чему же каждый из них получил больше верблюдов, чем полагалось. Сможете ли вы объяснить, что же произошло?

26. Винни Пух и Пятачок поделили между собой торт.

Пятачок захныкал, что ему досталось мало. Тогда Пух отдал ему треть своей доли. От этого у Пятачка количе ство торта увеличилось втрое. Какая часть торта была вначале у Пуха и какая у Пятачка?

27. Пильщики распиливают бревно на метровые от рубки. Длина бревна 5 м. На одну распиловку затрачива ется каждый раз 1 минуты. За сколько минут распилят пильщики все бревно?

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by © НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by © НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by © НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by © НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by © НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by © НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by 1. Александрова, Э. Б. Стол находок утерянных чисел / Э. Б. Александ рова, В. А. Левшин. — М. : Детская литература, 1988. — 63 с.

2. Аменицкий, Н. Н. Забавная арифметика / Н. Н. Аменицкий, И. П. Са харов. — М. : Наука, 1991. — 125 с.

3. Баврин, И. И. Старинные задачи : кн. для учащихся / И. И. Баврин, Е. А. Фрибус. — М. : Просвещение, 1994. — 128 с.

4. Б.А.Д. Бал у принцессы арифметики // Квант. — 1974. — № 7. — С. 66—68.

5. Балк, М. Б. Математика после уроков / М. Б. Балк, Г. Д. Балк. — М. :

Просвещение, 1971. — 464 с.

6. Беррондо, М. Занимательные задачи / М. Беррондо ; пер. с фр.

Ю. Н. Сударева ; под ред. И. М. Яглома. — М. : Мир, 1983. — 229 с.

7. Болгарский, Б. В. Очерки по истории математики / Б. В. Болгар ский ; под ред. В. Д. Чистякова. — Минск : Вышэйш. школа, 1974. — 288 с.

8. Виленкин, Н. Я. Тайны бесконечности / Н. Я. Виленкин // Квант. — 1970. — № 3. — С. 3—13.

9. Вырежи и сложи: игры головоломки / сост. З. А. Михайлова, Р. Л. Непомнящая. — Минск : Нар. асвета, 1992. — 179 с.

10. Волина, В. В. Мир математики / В. В. Волина. — Ростов н/Д : Феникс, 1999. — 508 с.

11. Ганчив, И. Математический фольклор / И. Ганчив, К. Чимев, Й. Стоя нов. — М. : Знание, 1987. — 205 с.

12. Депман, И. Я. Рассказы о математике / И. Я. Депман. — Л. : Детгиз, 1957. — 142 с.

13. Депман, И. Я. Рассказы о решении задач / И. Я. Депман. — Л. : Детская литература, 1957. — 127 с.

14. Депман, И. Я. Совершенные числа / И. Я. Депман // Квант. — 1971. — № 8. — С. 1—6.

15. Депман, И. Я. История арифметики / И. Я. Депман. — М. : Просвещение, 1965. — 415 с.

16. Дорофеева, А. В. Страницы истории на уроках математики / А. В. До рофеева // Квантор. — 1991. — 97 с.

17. Игнатьев, Е. И. В царстве смекалки / Е. И. Игнатьев. — М. : Наука, 1978. — 190 с.

18. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия / под ред. А. П. Юшкевича. — Т. 1. — М. : Наука, 1970. — 350 с.

19. Кордемский, Б. А. Удивительный мир чисел / Б. А. Кордемский, А. А. Ахадов. — М. : Просвещение, 1986. — 143 с.

20. Кордемский, Б. А. Математическая смекалка / Б. А. Кордемский. — М. :

Физматлит, 1958. — 574 с.

21. Козлова, Е. Г. Сказки и подсказки: Задачи для математического кружка / Е. Г. Козлова. — М. : МИРОС, 1994. — 128 с.

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by 22. Левинова, Л. А. Приключения Кубарика и Томика, или Веселая матема тика / Л. А. Левинова, Г. В. Сангир. — М. : Педагогика, 1975. — 160 с.

23. Левшин, В. А. Магистр Рассеянных Наук / В. А. Левшин. — М. : Москов ский клуб, 1994. — 256 с.

24. Леман, И. Увлекательная математика / И. Леман ; пер. с англ. Ю. А. Да нилова. — М. : Знание, 1985. — 270 с.

25. Леман, И. 2 2 + шутка / И. Леман. — Минск : Народная асвета, 1985. — 71 с.

26. Лоповок, А. М. Математика на досуге / А. М. Лоповок. — М. : Просвеще ние, 1981. — 158 с.

27. Мазаник, А. А. Реши сам / А. А. Мазаник. — Минск : Народная асвета, 1980. — 240 с.

28. Математический энциклопедический словарь / гл. ред. Ю. В. Прохо ров. — М. : Сов. энциклопедия, 1988. — 847 с.

29. Нагибин, Ф. Ф. Математическая шкатулка / Ф. Ф. Нагибин, Е. С. Ка нин. — М. : Просвещение, 1984. — 160 с.

30. Олехник, С. Н. Старинные занимательные задачи / С. Н. Олехин, Ю. В. Нестеренко, М. К. Потаров. — М. : Наука, 1985. — 160 с.

31. Перельман, Я. И. Занимательная арифметика / Я. И. Перельман. — М. :

Физматгиз, 1959. — 190 с.

32. Перельман, Я. И. Живая математика / Я. И. Перельман. — М. : Наука, 1978. — 160 с.

33. Перли, С. С. Страницы русской истории на уроках математики : нетра диц. задачник: 5—6 кл. / С. С. Перли, Б. С. Перли. — М. : Педагогика Пресс, 1994. — 287 с.

34. Час веселой математики: Задачи на сказочные сюжеты, смекалку, сообра зительность / авт. сост. Л. К. Круз. — Мозырь : ИД «Белый Ветер», 2001. — 28 с.

35. Чистяков, В. С. Старинные задачи по элементарной математике / В. С. Чистяков. — Минск : Вышэйш. школа, 1978. — 270 с.

36. Чопенко, О. П. Про счеты / О. П. Чопенко // Квант. — 1975. — № 5. — С. 72—75.

37. Энциклопедический словарь юного математика / сост. А. П. Савин. — М. : Педагогика, 1989. — 352 с.

38. Я познаю мир : дет. энцикл.: Математика / авт. сост. А. П. Савин, В. В. Стацко, А. Ю. Котова. — М. : ООО «Изд во АСТ»: ООО «Изд во Аст рель», 2002. — 475 с.

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by Тема 1. Тропинкой в мир чисел и цифр

Тема 2. Тропинкой в страну «Арифметика»

Тема 3. Тропинкой в удивительный мир вычислений........... Тема 4. Тропинкой в удивительный мир арифметических и геометрических игр, головоломок и фокусов

Тема 5. Тропинкой в удивительный мир деления

Тема 6. Тропинкой с математикой во времени

Тема 7. Тропинкой в занимательное геометрическое путешествие

Тема 8. Тропинкой в страну обыкновенных дробей............. Приложение

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by

Pages:     | 1 ||


Похожие работы:

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ СПО ПЕРЕСЛАВСКИЙ КИНОФОТОХИМИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАФЕДРА Методические рекомендации по выполнению и защите курсовых работ По дисциплине Мониторинг загрязнений окружающей среды Для студентов специальности 280201 – Охрана окружающей среды и рациональное использование природных ресурсов 2010 2 Рассмотрена на заседании Составлена в соответствии Технологической кафедры с Государственными требованиями Протокол заседания к минимуму...»

«Республика Беларусь ССРД. Метаданные. Категория данных: Платежный баланс Лицо, ответственное за контакты ФИО: Гарбуз Андрей Михайлович Должность: Начальник управления Название структурного Управление платежного баланса подразделения Организация Национальный банк Республики Беларусь Адрес: пр. Независимости, 20 Город: Минск Страна: Республика Беларусь Почтовый индекс: 220008 Телефон +375 17 219 24 35 Факс +375 17 220 22 72 Email: A.Garbuz@nbrb.by 0-1. Информация, касающаяся Национального банка...»

«Учебно-методическое обеспечение образовательной программы 1-х классов Лицея им. Г.Ф.Атякшева-ФГОС ПРЕДМЕТ ПРОГРАММА ИСПОЛЬЗУЕМЫЙ МЕТОДИЧЕСКАЯ ЛИТЕРАТУРА УЧЕБНИК Л.Г. Петерсон Математика. 1 кл. В Петерсон Л.Г. Математика. Математика Максимова, Т.Н. Поурочные разработки по математике.1 класс: к учебному комплекту 3-х ч.-М.:Ювента,2011.-96с. Программа. Предметная линия Петерсон Л.Г. / Т. Н. Максимова. - М. : ВАКО, 2009. - 352 с. - (В помощь учебников Перспектива 1- школьному учителю). кл. М.;...»

«Уфимский Государственный Авиационный Технический Университет Научно-Техническая Библиотека БЮЛЛЕТЕНЬ НОВЫХ ПОСТУПЛЕНИЙ за июнь 2011 года Уфа 2011 1 Сокращения Отдел учебной литературы ОУЛ (1 этаж) Отдел учебной литературы ОУЛ-2 (5 этаж) Методический кабинет МК (2 этаж) Отдел научной литературы ОНЛ (2 этаж) Читальный зал открытого доступа-1 ЧЗО-1(АВ) - Ассортиментная выставка (2 этаж) Читальный зал открытого доступа-1 ЧЗО-1(КЭ) - Фонд контрольного экземпляра (2 этаж) Читальный зал технической...»

«А. П. Пожидаев, С. Р. Сверчков, И. П. Шестаков ЛЕКЦИИ ПО АЛГЕБРЕ МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ А. П. Пожидаев, С. Р. Сверчков, И. П. Шестаков ЛЕКЦИИ ПО АЛГЕБРЕ Часть 1 Учебное пособие Новосибирск 2011 УДК 512.64(075) ББК: В14.5я73-1 Г 144 А. П. Пожидаев, С. Р. Сверчков, И. П. Шестаков, Лекции по алгебре: В 2 ч.: Учеб. пособие / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2011. 102 с. ISBN...»

«Новые книги (политология, правоведение, философия и др.) Введение в политическую теорию : учебное пособие : для бакалавров / Б. А. Исаев [и др.] ; под ред. Б. Исаева. - Санкт-Петербург [и др.] : Питер, 2013. - 432 с. Учебное пособие написано коллективом авторов в составе профессоров отделения политологии Балтийского государственного технического университета (БГТУ) ВОЕНМЕХ и других университетов СанктПетербурга. Руководитель авторского коллектива — заслуженный работник высшей школы, заведующий...»

«33С4 Т98 Тютюрюков, В. Н. Международные стандарты аудита: учебник для студ. вузов по спец. Бухгалтерский учет, анализ и аудит; рек. МОН РФ / В. Н. Тютюрюков. - 2-е изд. - М.: Дашков и К, 2013. - 200 с. - ISBN 978-5-394-01596-0 УДК33С4 Аннотация: Учебник освещает положения Международных стандартов аудита, написан в соответствии с программой дисциплины Международные стандарты аудита Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования специальности Бухгалтерский учет,...»

«ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РФ ПО СТРОИТЕЛЬСТВУ И ЖИЛИЩНО-КОММУНАЛЬНОМУ КОМПЛЕКСУ ГУП АКАДЕМИЯ КОММУНАЛЬНОГО ХОЗЯЙСТВА им. К.Д. ПАМФИЛОВА Одобрено: Утверждаю: Научно-техническим советом Центра Директор Академии энергоресурсосбережения Госстроя д.т.н. профессор России В.Ф. Пивоваров (протокол № 5 от 12.07.2002 г.) 2002 г. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ РАСХОДОВ ТОПЛИВА, ЭЛЕКТРОЭНЕРГИИ И ВОДЫ НА ВЫРАБОТКУ ТЕПЛОТЫ ОТОПИТЕЛЬНЫМИ КОТЕЛЬНЫМИ КОММУНАЛЬНЫХ ТЕПЛОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ПРЕДПРИЯТИЙ (Издание...»

«Министерство образования Российской Федерации Челябинский государственный университет Р.А. САБИТОВ ОСНОВЫ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ Учебное пособие Челябинск 2002 ББК Ч215я7 С 121 Сабитов Р.А. С 121 Основы научных исследований: Учеб. пособие / Челяб. гос. ун-т. Челябинск, 2002. 138 с. ISBN 5-7271-0587-0 Пособие содержит основные сведения об организации научноисследовательской работы в России, ее этапах, о методологии научных исследований в области юриспруденции, а также рекомендации по подготовке и...»

«Смоленский промышленно-экономический колледж Планы семинарских занятий Дисциплина Математика Курс: 5 Семестр: 1 Специальность: 151001 Технология машиностроения и все специальности технического профиля Семинар №1. Введение. Роль и место математики в современном мире. Цель: 1) получить представление об истории возникновения, развития математики как основополагающей дисциплины естественноматематического цикла; 2) определить роль математики в современной системе наук; 3) понять цели и задачи...»

«РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ РИНХ ФАКУЛЬТЕТ НАЦИОНАЛЬНОЙ И МИРОВОЙ ЭКОНОМИКИ Отделение повышения квалификации и переподготовки кадров Губернаторская программа подготовки управленческих кадров для сферы малого бизнеса (дистанционное обучение) УПРАВЛЕНИЕ МАЛЫМ ПРЕДПРИЯТИЕМ: ЭКОНОМИЧЕСКИЕ И ПРАВОВЫЕ ОСНОВЫ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ Под общей редакцией И.В. Мишуровой Учебное пособие Ростов-на-Дону 2008 УДК 334(075)+34(075) У 66 Авторский коллектив: К.э.н. доцент Туманова Е.В. – модуль 1....»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ БУХГАЛТЕРСКИЙ УЧЕТ Методические указания по выполнению контрольной работы для самостоятельной работы студентов третьего курса специальностей 080104.65 Экономика и социология труда, 080507.65 Менеджмент организации, 080111.65 Маркетинг Учетно-статистический факультет Кафедра бухгалтерского учета и анализа...»

«МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский государственный агроинженерный университет имени В.П. Горячкина ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ ПРЕДПРИЯТИЙ АВТОМОБИЛЬНОГО ТРАНСПОРТА МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КУРСОВОГО ПРОЕКТА под редакцией члена-корреспондента РАСХН Дидманидзе О.Н. МОСКВА 2010 УДК 631.302:629.1.031 Рецензент: Доктор технических наук, профессор, заведующий...»

«Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ивановская государственная текстильная академия (ИГТА) Кафедра материаловедения и товароведения МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ОДЕЖДЫ И КОНФЕКЦИОНИРОВАНИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению контрольных работ для студентов специальности 260901 (280800) Технология швейных изделий заочной формы обучения Иваново 2009 Методические указания предназначены для студентов заочного факультета специальности...»

«ЦЕНТР СОДЕЙСТВИЯ КОРЕННЫМ МАЛОЧИСЛЕННЫМ НАРОДАМ СЕВЕРА Н.В. Моралева, Е.Ю. Ледовских, Т. Келер, Д.В. Киричевский, М.Ю. Рубцова, В.П. Чижова АБОРИГЕННЫЙ ЭКОТУРИЗМ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ Россия 2008 Ассоциация коренных малочисленных народов Центр содействия Севера, Сибири и Дальнего Востока коренным малочисленным народам Севера Российской Федерации ЦС КМНС АКМНССДВ РФ 119415, Москва, а/я 119415, Москва, а/я mail@csipn.ru raipon@raipon.org www.csipn.ru www.raipon.org Моралева Н.В., Ледовских Е.Ю.,...»

«МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ Подлежит возврату № 1193 ФИЛОСОФИЯ КАЧЕСТВА Программа дисциплины Для студентов специальности 221400 Управление качеством, 221700 Стандартизация и метрология МОСКВА 2012 МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ...»

«ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА (ИНЭП) В. А. Балашова СУДЕБНАЯ МЕДИЦИНА И ПСИХИАТРИЯ Учебно-методическое пособие для студентов всех форм обучения по специальности 021100 – Юриспруденция Москва 2011 г. Судебная медицина и психиатрия – одна из специальных учебных дисциплин, предусмотренных учебным планом для студентов уголовноправовой специализации по специальности 021100 – Юриспруденция. Автор: В. А. Балашова Рецензент: к.ю.н. В. И. Киреев Учебно-методическое пособие утверждено и...»

«Министерство здравоохранения Российской Федерации Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МЕДИКО-СТОМАТОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ А.И. ЕВДОКИМОВА Министерства здравоохранения Российской Федерации ОТЧЁТ О САМООБСЛЕДОВАНИИ Москва Апрель 2014 Оглавление 1. Общие сведения о ГБОУ ВПО МГМСУ имени А.И.Евдокимова Минздрава России. 3 1.1. Полное наименование и контактная информация 3 1.2. Миссия университета 1.3. Система...»

«Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Уральский государственный технический университет – УПИ Нижнетагильский технологический институт (филиал) ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕХНИКО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ПРЕДПРИЯТИЯ В РЕЗУЛЬТАТЕ ВНЕДРЕНИЯ МЕРОПРИЯТИЙ НТП Методические указания к выполнению курсовой работы по курсу Экономика и организация производства электроприводов для студентов всех форм обучения специальности 180400 –...»

«С.Ф. Соболев, Ю.П. Кузьмин МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО РАЗРАБОТКЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ИЗГОТОВЛЕНИЯ ДЕТАЛЕЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКОЙ Санкт-Петербург 2007 0 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ С.Ф. Соболев, Ю.П. Кузьмин МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО РАЗРАБОТКЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ИЗГОТОВЛЕНИЯ ДЕТАЛЕЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ








 
2014 www.av.disus.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.